浮动执行价格回望看涨期权定价公式推导

期权收益与定价公式：

• 浮动执行价格回望看涨期权的收益在到期日 T$T$ 为 S(T) - \min(z, S_{\min})$S(T) - \min(z, S_{\min})$，其中：
  • S(T)$S(T)$ 是到期资产价格。
  • z$z$ 是从估值日0到到期日 T$T$ 的最小资产价格。
  • S_{\min}$S_{\min}$ 是从合约开始到估值日0的历史最小资产价格。
• 在风险中性测度下，期权在日期0的价值 V$V$ 是收益的贴现值：

V = e^{-rT} \mathbb{E}^Q [S(T) - \min(z, S_{\min})] = e^{-rT} \mathbb{E}^Q [S(T)] - e^{-rT} \mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]

• 其中 \mathbb{E}^Q$\mathbb{E}^Q$ 是风险中性期望，r$r$ 是无风险利率，q$q$ 是股息率。在风险中性下，\mathbb{E}^Q [S(T)] = S(0) e^{(r-q)T}$\mathbb{E}^Q [S(T)] = S(0) e^{(r-q)T}$，所以：

  e^{-rT} \mathbb{E}^Q [S(T)] = e^{-qT} S(0)

  $$e^{-rT} \mathbb{E}^Q [S(T)] = e^{-qT} S(0)$$

• 因此，定价的关键是计算 e^{-rT} \mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]$e^{-rT} \mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]$。

计算 \mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]$\mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]$：

• 令 L = S_{\min}$L = S_{\min}$，我们需要计算 \mathbb{E}^Q [\min(z, L)]$\mathbb{E}^Q [\min(z, L)]$。
• 从附录B.2，几何布朗运动的最小值 z$z$ 的分布函数为：

P(z \leq x) = \mathrm{N}(-d_x) + \left( \frac{x}{S(0)} \right)^{2\mu/\sigma^2} \mathrm{N}(d'_x)

其中：

• \mu = r - q - \sigma^2/2$\mu = r - q - \sigma^2/2$（风险中性漂移），
• \mathrm{N}(\cdot)$\mathrm{N}(\cdot)$ 是标准正态分布函数，
• d_x = \frac{ \log(S(0)/x) + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$d_x = \frac{ \log(S(0)/x) + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$,
• d'_x = \frac{ \log(x/S(0)) + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$d'_x = \frac{ \log(x/S(0)) + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$。

使用期望公式：

\mathbb{E}[\min(z, L)] = L - \int_0^L P(z \leq x) \, dx

这是因为 \min(z, L) = L - (L - z)^+$\min(z, L) = L - (L - z)^+$，且 \mathbb{E}[(L - z)^+] = \int_0^L P(z \leq x) \, dx$\mathbb{E}[(L - z)^+] = \int_0^L P(z \leq x) \, dx$（对于非负随机变量）。

• 因此，计算 \mathbb{E}^Q [\min(z, L)]$\mathbb{E}^Q [\min(z, L)]$ 归结为计算积分：

I = \int_0^L P(z \leq x) \, dx = \int_0^L \mathrm{N}(-d_x) \, dx + \int_0^L \left( \frac{x}{S(0)} \right)^{2\mu/\sigma^2} \mathrm{N}(d'_x) \, dx

令 I_1 = \int_0^L \mathrm{N}(-d_x) \, dx$I_1 = \int_0^L \mathrm{N}(-d_x) \, dx$ 和 I_2 = \int_0^L \left( \frac{x}{S(0)} \right)^{2\mu/\sigma^2} \mathrm{N}(d'_x) \, dx$I_2 = \int_0^L \left( \frac{x}{S(0)} \right)^{2\mu/\sigma^2} \mathrm{N}(d'_x) \, dx$.

计算积分 I_1$I_1$ 和 I_2$I_2$：

• 这些积分可以通过变量代换计算。令 y = \log x$y = \log x$，则 x = e^y$x = e^y$，dx = e^y dy$dx = e^y dy$，积分限变为 y \in (-\infty, \log L]$y \in (-\infty, \log L]$。

对于 I_1$I_1$：

I_1 = \int_{-\infty}^{\log L} \mathrm{N}(-d_{e^y}) e^y \, dy

其中 d_x = \frac{ \log S(0) - y + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$d_x = \frac{ \log S(0) - y + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$（因为 x = e^y$x = e^y$，所以 \log x = y$\log x = y$）。令 A = \log S(0) + \mu T$A = \log S(0) + \mu T$，则 d_x = \frac{A - y}{\sigma \sqrt{T}}$d_x = \frac{A - y}{\sigma \sqrt{T}}$。

• 因此，\mathrm{N}(-d_x) = \mathrm{N}\left( \frac{y - A}{\sigma \sqrt{T}} \right)$\mathrm{N}(-d_x) = \mathrm{N}\left( \frac{y - A}{\sigma \sqrt{T}} \right)$。
• 积分 I_1$I_1$ 变为：

I_1 = \int_{-\infty}^{\log L} \mathrm{N}\left( \frac{y - A}{\sigma \sqrt{T}} \right) e^y \, dy

• 这个积分可以通过完成平方计算。令 z = \frac{y - A}{\sigma \sqrt{T}}$z = \frac{y - A}{\sigma \sqrt{T}}$，则 y = A + z \sigma \sqrt{T}$y = A + z \sigma \sqrt{T}$，dy = \sigma \sqrt{T} dz$dy = \sigma \sqrt{T} dz$。

• 代入得：

I_1 = \int_{-\infty}^{\frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}}} \mathrm{N}(z) e^{A + z \sigma \sqrt{T}} \sigma \sqrt{T} \, dz

​ 步骤1: 表达积分并变量代换

​ 积分：

I_1 = \int_0^L \mathrm{N}(-d_x) \, dx

​ 首先，表达 d_x$d_x$:

d_x = \frac{ \log(S(0)/x) + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} } = \frac{ \log S(0) - \log x + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }

​ 令 A = \log S(0) + \mu T$A = \log S(0) + \mu T$，则：

d_x = \frac{A - \log x}{\sigma \sqrt{T}}

​ 因此：

\mathrm{N}(-d_x) = \mathrm{N}\left( \frac{\log x - A}{\sigma \sqrt{T}} \right)

​ 所以：

I_1 = \int_0^L \mathrm{N}\left( \frac{\log x - A}{\sigma \sqrt{T}} \right) dx

​ 现在进行变量代换。令 y = \log x$y = \log x$，则 x = e^y$x = e^y$，dx = e^y dy$dx = e^y dy$。当 x$x$ 从 0 到 L$L$，y$y$ 从 -\infty$-\infty$ 到 \log L$\log L$。代入：

I_1 = \int_{-\infty}^{\log L} \mathrm{N}\left( \frac{y - A}{\sigma \sqrt{T}} \right) e^y dy

​ 令 z = \frac{y - A}{\sigma \sqrt{T}}$z = \frac{y - A}{\sigma \sqrt{T}}$，则 y = A + z \sigma \sqrt{T}$y = A + z \sigma \sqrt{T}$，dy = \sigma \sqrt{T} dz$dy = \sigma \sqrt{T} dz$。当 y = -\infty$y = -\infty$，z = -\infty$z = -\infty$; 当 y = \log L$y = \log L$，z = z_0 = \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}}$z = z_0 = \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}}$。代入：

I_1 = \int_{-\infty}^{z_0} \mathrm{N}(z) e^{A + z \sigma \sqrt{T}} \sigma \sqrt{T} dz = \sigma \sqrt{T} e^{A} \int_{-\infty}^{z_0} \mathrm{N}(z) e^{z \sigma \sqrt{T}} dz

令 c = \sigma \sqrt{T}$c = \sigma \sqrt{T}$，则：

I_1 = \sigma \sqrt{T} e^{A} \int_{-\infty}^{z_0} \mathrm{N}(z) e^{c z} dz

步骤2: 计算积分 \int_{-\infty}^{z_0} \mathrm{N}(z) e^{c z} dz$\int_{-\infty}^{z_0} \mathrm{N}(z) e^{c z} dz$

计算积分：

J = \int_{-\infty}^{z_0} \mathrm{N}(z) e^{c z} dz

利用交换积分次序的方法。注意 \mathrm{N}(z) = \int_{-\infty}^{z} \phi(t) dt$\mathrm{N}(z) = \int_{-\infty}^{z} \phi(t) dt$，其中 \phi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}$\phi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}$ 是标准正态密度函数。因此：

J = \int_{-\infty}^{z_0} \left( \int_{-\infty}^{z} \phi(t) dt \right) e^{c z} dz

交换积分次序：对于固定 t$t$，z$z$ 从 t$t$ 到 z_0$z_0$（因为当 z < t$z < t$ 时，内层积分不贡献）。所以：

J = \int_{-\infty}^{z_0} \phi(t) \left( \int_{t}^{z_0} e^{c z} dz \right) dt

计算内层积分：

\int_{t}^{z_0} e^{c z} dz = \frac{1}{c} \left[ e^{c z_0} - e^{c t} \right]

代入：

J = \frac{1}{c} \int_{-\infty}^{z_0} \phi(t) \left( e^{c z_0} - e^{c t} \right) dt = \frac{1}{c} e^{c z_0} \int_{-\infty}^{z_0} \phi(t) dt - \frac{1}{c} \int_{-\infty}^{z_0} \phi(t) e^{c t} dt

现在：

• \int_{-\infty}^{z_0} \phi(t) dt = \mathrm{N}(z_0)$\int_{-\infty}^{z_0} \phi(t) dt = \mathrm{N}(z_0)$
• 计算 \int_{-\infty}^{z_0} \phi(t) e^{c t} dt$\int_{-\infty}^{z_0} \phi(t) e^{c t} dt$: 注意 \phi(t) e^{c t} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2 + c t} = e^{c^2 / 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(t - c)^2 / 2} = e^{c^2 / 2} \phi(t - c)$\phi(t) e^{c t} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2 + c t} = e^{c^2 / 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(t - c)^2 / 2} = e^{c^2 / 2} \phi(t - c)$，所以：

\int_{-\infty}^{z_0} \phi(t) e^{c t} dt = e^{c^2 / 2} \int_{-\infty}^{z_0} \phi(t - c) dt = e^{c^2 / 2} \mathrm{N}(z_0 - c)

因此：

J = \frac{1}{c} \left[ e^{c z_0} \mathrm{N}(z_0) - e^{c^2 / 2} \mathrm{N}(z_0 - c) \right]

步骤3: 代入回 I_1$I_1$

代入 J$J$ 到 I_1$I_1$:

I_1 = \sigma \sqrt{T} e^{A} \cdot \frac{1}{c} \left[ e^{c z_0} \mathrm{N}(z_0) - e^{c^2 / 2} \mathrm{N}(z_0 - c) \right]

由于 c = \sigma \sqrt{T}$c = \sigma \sqrt{T}$，有 \sigma \sqrt{T} / c = 1$\sigma \sqrt{T} / c = 1$，所以：

I_1 = e^{A} \left[ e^{c z_0} \mathrm{N}(z_0) - e^{c^2 / 2} \mathrm{N}(z_0 - c) \right]

现在计算指数项：

• c z_0 = \sigma \sqrt{T} \cdot \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}} = \log L - A$c z_0 = \sigma \sqrt{T} \cdot \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}} = \log L - A$，所以 e^{c z_0} = e^{\log L - A} = L / e^{A}$e^{c z_0} = e^{\log L - A} = L / e^{A}$
• e^{c^2 / 2} = e^{(\sigma^2 T) / 2}$e^{c^2 / 2} = e^{(\sigma^2 T) / 2}$
• z_0 = \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}}$z_0 = \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}}$
• z_0 - c = \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}} - \sigma \sqrt{T} = \frac{\log L - A - \sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}}$z_0 - c = \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}} - \sigma \sqrt{T} = \frac{\log L - A - \sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}}$

代入：

I_1 = e^{A} \left[ \frac{L}{e^{A}} \mathrm{N}(z_0) - e^{\sigma^2 T / 2} \mathrm{N}\left( \frac{\log L - A - \sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}} \right) \right] = L \mathrm{N}(z_0) - e^{A + \sigma^2 T / 2} \mathrm{N}\left( \frac{\log L - A - \sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}} \right)

步骤4: 简化表达式

回忆 A = \log S(0) + \mu T$A = \log S(0) + \mu T$ 和 \mu = r - q - \sigma^2 / 2$\mu = r - q - \sigma^2 / 2$，所以：

A + \frac{\sigma^2 T}{2} = \log S(0) + \mu T + \frac{\sigma^2 T}{2} = \log S(0) + (r - q - \frac{\sigma^2}{2}) T + \frac{\sigma^2 T}{2} = \log S(0) + (r - q) T

因此：

e^{A + \sigma^2 T / 2} = e^{\log S(0) + (r - q) T} = S(0) e^{(r - q) T}

另外，z_0 = \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}}$z_0 = \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}}$，所以最终：

I_1 = e^{A + \frac{\sigma^2 T}{2}} \mathrm{N}\left( \frac{\log L - A - \sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}} \right) - L \mathrm{N}\left( \frac{\log L - A}{\sigma \sqrt{T}} \right)

代入 A = \log S(0) + \mu T$A = \log S(0) + \mu T$，并注意到 \mu = r - q - \sigma^2/2$\mu = r - q - \sigma^2/2$，所以 A + \frac{\sigma^2 T}{2} = \log S(0) + (r-q)T$A + \frac{\sigma^2 T}{2} = \log S(0) + (r-q)T$。

• 因此：

  I_1=LN(\frac{\log \frac{L}{S(0)}-(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2) T}{\sigma\sqrt{T}})-S(0)e^{(r-q)T}N(\frac{\log{\frac{L}{S(0)}-(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2)T}}{\sigma\sqrt{T}})

  $$I_1=LN(\frac{\log \frac{L}{S(0)}-(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2) T}{\sigma\sqrt{T}})-S(0)e^{(r-q)T}N(\frac{\log{\frac{L}{S(0)}-(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2)T}}{\sigma\sqrt{T}})$$
  即

I_1 =  L \mathrm{N}(-d_2)-S(0) e^{(r-q)T} \mathrm{N}(-d_1)

其中：

• d_1 = \frac{ \log(S(0)/L) + (r-q+\sigma^2/2)T }{ \sigma \sqrt{T} }$d_1 = \frac{ \log(S(0)/L) + (r-q+\sigma^2/2)T }{ \sigma \sqrt{T} }$（如公式8.30中的定义），
• d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} = \frac{ \log(S(0)/L) + (r-q-\sigma^2/2)T }{ \sigma \sqrt{T} }$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} = \frac{ \log(S(0)/L) + (r-q-\sigma^2/2)T }{ \sigma \sqrt{T} }$。

对于 I_2$I_2$：

I_2 = \int_0^L \left( \frac{x}{S(0)} \right)^{2\mu/\sigma^2} \mathrm{N}(d'_x) \, dx

其中 d'_x = \frac{ \log(x/S(0)) + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$d'_x = \frac{ \log(x/S(0)) + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$。

• 令 y = \log x$y = \log x$，则 x = e^y$x = e^y$，dx = e^y dy$dx = e^y dy$，且 \left( \frac{x}{S(0)} \right)^{2\mu/\sigma^2} = e^{2\mu y/\sigma^2} S(0)^{-2\mu/\sigma^2}$\left( \frac{x}{S(0)} \right)^{2\mu/\sigma^2} = e^{2\mu y/\sigma^2} S(0)^{-2\mu/\sigma^2}$。
• 所以：

I_2 = S(0)^{-2\mu/\sigma^2} \int_{-\infty}^{\log L} e^{y (1 + 2\mu/\sigma^2)} \mathrm{N}\left( \frac{y - \log S(0) + \mu T}{\sigma \sqrt{T}} \right) dy

• 令 B = \log S(0) - \mu T$B = \log S(0) - \mu T$，则 d'_x = \frac{y - B}{\sigma \sqrt{T}}$d'_x = \frac{y - B}{\sigma \sqrt{T}}$。

• 类似地，通过变量代换和完成平方，最终可得：

  I_2 = \frac{\sigma^2}{2(r - q)} \left( \frac{L}{S(0)} \right)^{2(r - q)/\sigma^2} S(0) \mathrm{N}(d_2') - \frac{\sigma^2}{2(r - q)} S(0) e^{(r - q) T} \mathrm{N}(-d_1)

  $$I_2 = \frac{\sigma^2}{2(r - q)} \left( \frac{L}{S(0)} \right)^{2(r - q)/\sigma^2} S(0) \mathrm{N}(d_2') - \frac{\sigma^2}{2(r - q)} S(0) e^{(r - q) T} \mathrm{N}(-d_1)$$

  其中 d_2' = \frac{ \log(L/S(0)) + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$d_2' = \frac{ \log(L/S(0)) + \mu T }{ \sigma \sqrt{T} }$（注意与公式8.30中的 d_2'$d_2'$ 一致，因为 \mu = r-q-\sigma^2/2$\mu = r-q-\sigma^2/2$，所以 d_2' = \frac{ \log(L/S(0)) + (r-q-\sigma^2/2)T }{ \sigma \sqrt{T} }$d_2' = \frac{ \log(L/S(0)) + (r-q-\sigma^2/2)T }{ \sigma \sqrt{T} }$）。

组合结果：

• 现在有：

\begin{aligned}
\int_0^L P(z \leq x) \, dx =& I_1 + I_2 \\
=& L \mathrm{N}(-d_2)-S(0) e^{(r-q)T} \mathrm{N}(-d_1)   \\
&+ \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \left( \frac{L}{S(0)} \right)^{2(r-q)/\sigma^2} S(0) \mathrm{N}(d_2') \\
&- \frac{\sigma^2}{2(r-q)} S(0) e^{(r-q)T} \mathrm{N}(-d_1)
\end{aligned}

• 因此：

\mathbb{E}^Q [\min(z, L)] = L - I_1 - I_2 = L - \left[ L \mathrm{N}(-d_2)-S(0) e^{(r-q)T} \mathrm{N}(-d_1) +   \cdots \right]

简化后：

\begin{aligned}
\mathbb{E}^Q [\min(z, L)] =& L \mathrm{N}(d_2)\\
&+ S(0) e^{(r-q)T} \mathrm{N}(-d_1) \left[ 1 + \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \right] \\
&- \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \left( \frac{L}{S(0)} \right)^{2(r-q)/\sigma^2} S(0) \mathrm{N}(d_2') \\
\end{aligned}

贴现并得期权价值：

• 现在计算 e^{-rT} \mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]$e^{-rT} \mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]$：

\begin{aligned}
e^{-rT} \mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})] = e^{-rT} [ & \\ 
& L \mathrm{N}(d_2)\\
&+ S(0) e^{(r-q)T} \mathrm{N}(-d_1) \left[ 1 + \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \right] \\
&- \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \left( \frac{L}{S(0)} \right)^{2(r-q)/\sigma^2} S(0) \mathrm{N}(d_2') \\
]
\end{aligned}

简化：

\begin{aligned}
= & e^{-rT}L \mathrm{N}(d_2)\\
&+ S(0) e^{-qT} \mathrm{N}(-d_1) \left[ 1 + \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \right] \\
&- \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \left( \frac{L}{S(0)} \right)^{2(r-q)/\sigma^2} e^{-rT}S(0) \mathrm{N}(d_2') \\
\end{aligned}

• 代入期权价值公式：

V = e^{-qT} S(0)N(d_1) - e^{-rT} \mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]

所以：

\begin{aligned}
V = e^{-qT} S(0) - [ & \\
& e^{-rT}L \mathrm{N}(d_2)\\
&+ S(0) e^{-qT} \mathrm{N}(-d_1) \left[ 1 + \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \right] \\
&- \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \left( \frac{L}{S(0)} \right)^{2(r-q)/\sigma^2} e^{-rT}S(0) \mathrm{N}(d_2') \\
]
\end{aligned}

注意到 1 - \mathrm{N}(-d_1) = \mathrm{N}(d_1)$1 - \mathrm{N}(-d_1) = \mathrm{N}(d_1)$，所以：

\begin{aligned}
V =& e^{-qT} S(0)N(d_1) -  e^{-rT}L \mathrm{N}(d_2)\\
&- S(0) e^{-qT} \mathrm{N}(-d_1)  \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \\
&+ \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \left( \frac{L}{S(0)} \right)^{2(r-q)/\sigma^2} e^{-rT}S(0) \mathrm{N}(d_2') \\

\end{aligned}

代入S_{min}=L$S_{min}=L$，得到

\begin{aligned}
V = & e^{-qT} S(0) \mathrm{N}(d_1) - e^{-rT} S_{\min} \mathrm{N}(d_2) \\
&+ \frac{\sigma^2}{2(r-q)} \left( \frac{S_{\min}}{S(0)} \right)^{2(r-q)/\sigma^2} e^{-rT} S(0) \mathrm{N}(d_2') \\ 
&- \frac{\sigma^2}{2(r-q)} e^{-qT} S(0) \mathrm{N}(-d_1)
\end{aligned}

这正是公式(8.30)。

其中

d_1=\frac{\log (\frac{S(0)}{S_{min}})+(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma 
\sqrt{T}},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

d_1'=\frac{\log (\frac{S_{min}}{S(0)})+(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma 
\sqrt{T}},\quad d_2'=d_1-\sigma\sqrt{T} 

总结

• 附录B提供了几何布朗运动最小值 z$z$ 的分布函数（B.2节），这是计算 \mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]$\mathbb{E}^Q [\min(z, S_{\min})]$ 的基础。
• 通过积分计算 P(z \leq x)$P(z \leq x)$ 的期望，并利用风险中性定价原理，得到期权价值。
• 推导中涉及变量代换、完成平方和测度变换（如Girsanov定理），这些在附录B中有详细说明。

此推导展示了如何将理论概率工具应用于金融衍生品定价。

证明E[(L−z)^+]=∫_0^LP(z≤x)dx$E[(L−z)^+]=∫_0^LP(z≤x)dx$

推导步骤

1. 定义非负随机变量： 令 Y = (L - z)^+ = \max(L - z, 0)$Y = (L - z)^+ = \max(L - z, 0)$。由于 z$z$ 是非负随机变量（在期权定价上下文中，z$z$ 是资产价格的最小值，因此 z \geq 0$z \geq 0$），所以 Y$Y$ 也是非负随机变量。
2. 利用非负随机变量的期望公式： 对于任何非负随机变量 Y$Y$，其期望可以表示为：

E[Y] = \int_0^\infty P(Y > y) \, dy

这个公式是概率论中的标准结果，可以通过交换积分次序证明（例如，使用 Fubini 定理）。

3. 确定积分上限：

   由于 Y = (L - z)^+ \leq L$Y = (L - z)^+ \leq L$（因为 z \geq 0$z \geq 0$，所以 L - z \leq L$L - z \leq L$，且取正部后 Y \leq L$Y \leq L$），因此当 y > L$y > L$ 时，P(Y > y) = 0$P(Y > y) = 0$。这意味着积分上限可以从 \infty$\infty$ 改为 L$L$：

E[Y] = \int_0^L P(Y > y) \, dy

4. 计算 P(Y > y)$P(Y > y)$：

   事件 Y > y$Y > y$ 等价于 (L - z)^+ > y$(L - z)^+ > y$。由于 y \geq 0$y \geq 0$，这可以分解为：

(L - z)^+ > y \iff L - z > y \quad \text{（因为如果 } L - z \leq 0, \text{ 则 } (L - z)^+ = 0 \leq y \text{）}

​ 因此，P(Y > y) = P(L - z > y) = P(z < L - y)$P(Y > y) = P(L - z > y) = P(z < L - y)$。

5. 变量代换：

   令 x = L - y$x = L - y$，则当 y$y$ 从 0 到 L$L$ 时，x$x$ 从 L$L$ 到 0。同时，dy = -dx$dy = -dx$。代入积分：

E[Y] = \int_0^L P(z < L - y) \, dy = \int_{x=L}^{x=0} P(z < x) (-dx) = \int_0^L P(z < x) \, dx

​ 这里，积分上下限交换时，负号被抵消。

6. 处理概率相等问题：

   在期权定价上下文中，z$z$ 通常是连续随机变量（例如，几何布朗运动的最小值），因此有 P(z < x) = P(z \leq x)$P(z < x) = P(z \leq x)$，因为连续随机变量在一点的概率为零。因此：

E[Y] = \int_0^L P(z \leq x) \, dx

​ 即：

E[(L - z)^+] = \int_0^L P(z \leq x) \, dx

## 在期权定价中的应用

在第2张图片中，浮动执行价格回望看涨期权的收益涉及 \min(z, S_{\min})$\min(z, S_{\min})$，其中 S_{\min}$S_{\min}$ 是历史最小值。注意到：

\min(z, S_{\min}) = S_{\min} - (S_{\min} - z)^+

因此，期望为：

E[\min(z, S_{\min})] = S_{\min} - E[(S_{\min} - z)^+]

利用上述结果，有：

E[\min(z, S_{\min})] = S_{\min} - \int_0^{S_{\min}} P(z \leq x) \, dx

这正好对应了图片中“the value at date 0 of receiving \min(z, S_{\min})$\min(z, S_{\min})$ at date T”的计算基础。附录B.2提供了 P(z \leq x)$P(z \leq x)$ 的具体表达式，从而允许计算这个积分。

总结

这个等式的成立依赖于非负随机变量的期望公式和变量代换，并假设 z$z$ 是连续随机变量。在回望期权定价中，它被用于将问题转化为对最小值分布的积分计算。

证明E[X] = \int_{0}^{\infty} P(X > x) \, dx$E[X] = \int_{0}^{\infty} P(X > x) \, dx$

公式概述

对于任意非负随机变量 X$X$（即 P(X \geq 0) = 1$P(X \geq 0) = 1$），其期望 E[X]$E[X]$ 可以表示为：

E[X] = \int_{0}^{\infty} P(X > x) \, dx

其中 P(X > x) = 1 - F(x)$P(X > x) = 1 - F(x)$，F(x)$F(x)$ 是 X$X$ 的累积分布函数（CDF）。这个公式的核心优势在于：它避免了直接处理概率密度函数（PDF）的复杂性，特别适用于PDF难以求导或定义的场景。

公式的证明

证明主要分为两种思路：分部积分法（适用于连续随机变量）和积分交换法（通用性强）。以下是基于搜索结果的详细推导。

方法一：分部积分法（针对连续型随机变量）

1. 写出期望的积分表达式：假设 X$X$ 是连续型非负随机变量，其概率密度函数为 f(x)$f(x)$，则期望为：

E[X] = \int_0^{\infty} x f(x) \, dx

2. 应用分部积分法：

• 令 u = x$u = x$，则 du = dx$du = dx$。
• 令 dv = f(x)dx$dv = f(x)dx$，则 v = \int f(x) \, dx = F(x)$v = \int f(x) \, dx = F(x)$（这里 v$v$ 是 f(x)$f(x)$ 的一个原函数）。
• 代入分部积分公式 \int u \, dv = uv - \int v \, du$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们有：

E[X] = \int_0^{\infty} x f(x) \, dx = \left[ x F(x) \right]_{0}^{\infty} - \int_0^{\infty} F(x) \, dx

3. 关键：处理广义积分与边界项 上面的等式是对于上限为 b$b$ 的普通积分成立，我们需要取极限 b \to \infty$b \to \infty$ 来考察广义积分：

E[X] = \lim_{b \to \infty} \left( \int_0^{b} x f(x) \, dx \right) = \lim_{b \to \infty} \left( \left[ x F(x) \right]_{0}^{b} - \int_0^{b} F(x) \, dx \right)

化简为：

E[X] = \lim_{b \to \infty} \left( b F(b) - \int_0^{b} F(x) \, dx \right)

现在，我们将 E[X] = \int_0^{\infty} (1 - F(x)) \, dx$E[X] = \int_0^{\infty} (1 - F(x)) \, dx$ 的等式两边同时考虑进来。为了证明两者相等，我们只需证明：

\lim_{b \to \infty} \left( b F(b) - \int_0^{b} F(x) \, dx \right) = \int_0^{\infty} (1 - F(x)) \, dx

这等价于证明：

\lim_{b \to \infty} \left( b F(b) - \int_0^{b} F(x) \, dx - \int_0^{b} (1 - F(x)) \, dx \right) = 0

注意到 \int_0^{b} F(x) \, dx + \int_0^{b} (1 - F(x)) \, dx = \int_0^{b} 1 \, dx = b$\int_0^{b} F(x) \, dx + \int_0^{b} (1 - F(x)) \, dx = \int_0^{b} 1 \, dx = b$，所以上式变为：

\lim_{b \to \infty} (b F(b) - b) = \lim_{b \to \infty} b (F(b) - 1) = -\lim_{b \to \infty} b (1 - F(b))

因此，整个证明成立的关键就在于证明 \lim_{b \to \infty} b (1 - F(b)) = 0$\lim_{b \to \infty} b (1 - F(b)) = 0$。而这个结论在 E[X] < \infty$E[X] < \infty$ 的条件下是成立的，正如我们之前严谨证明的那样。所以，分部积分法的证明思路本身没有问题，但需要最终归结到证明 \lim_{x \to \infty} x (1-F(x)) = 0$\lim_{x \to \infty} x (1-F(x)) = 0$，而不是我之前错误陈述的 \lim_{x \to \infty} x F(x) = 0$\lim_{x \to \infty} x F(x) = 0$。

一个更简洁通用的证明方法

由于分部积分法的证明在边界处理上容易令人困惑，这里提供一个基于**交换积分次序（Fubini定理）**的证明，它更简洁、通用，且不涉及棘手的边界项讨论。

证明过程如下：

\begin{aligned} E[X] &= \int_{\Omega} X \, dP \quad &\text{(期望的定义)} \\ &= \int_{\Omega} \left( \int_{0}^{X} 1 \, dx \right) dP \quad &\text{(因为对于固定的 $X>0$, $\int_0^X 1 dx = X$)} \\ &= \int_{\Omega} \left( \int_{0}^{\infty} 1_{\{x < X\}} \, dx \right) dP \quad &\text{($1_{\{x < X\}}$ 是指示函数，当 $x < X$ 时为1，否则为0)} \\ &= \int_{0}^{\infty} \left( \int_{\Omega} 1_{\{x < X\}} \, dP \right) dx \quad &\text{(交换积分次序，由Fubini定理保证)} \\ &= \int_{0}^{\infty} P(X > x) \, dx \quad &\text{(因为 $\int_{\Omega} 1_{\{x < X\}} dP = P(x < X) = P(X > x)$)} \\ &= \int_{0}^{\infty} (1 - F(x)) \, dx \quad &\text{(因为 $P(X > x) = 1 - P(X \le x) = 1 - F(x)$)} \end{aligned}

这个证明清晰地展示了从期望定义到目标公式的转换过程，逻辑链非常完整，并且适用于连续型和离散型非负随机变量。

方法二：积分交换法（通用证明，适用于连续/离散型）

此方法通过交换积分次序直接推导，不依赖分布类型：

1. 从概率表达式出发：

\int_{0}^{\infty} P(X > x) \, dx = \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{x}^{\infty} f(t) \, dt \right] dx

其中 f(t)$f(t)$ 是 X$X$ 的PDF（若是离散型，积分改为求和）。

2. 交换积分次序（使用Fubini定理）： 积分区域是 0 \leq x \leq t < \infty$0 \leq x \leq t < \infty$，交换次序后：

\int_{0}^{\infty} \left[ \int_{x}^{\infty} f(t) \, dt \right] dx = \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{0}^{t} dx \right] f(t) \, dt = \int_{0}^{\infty} t f(t) \, dt

3. 得到期望：

\int_{0}^{\infty} t f(t) \, dt = E[X]

因此原式得证。 离散型随机变量的证明类似：将积分改为求和，利用 P(X > x) = \sum_{k > x} P(X = k)$P(X > x) = \sum_{k > x} P(X = k)$，然后交换求和次序即可。

4. ⚠️ 注意事项

• 非负性要求：公式仅适用于 X \geq 0$X \geq 0$。如果 X$X$ 可取负值，需要调整积分下限或使用 E[X] = \int_{0}^{\infty} P(X > x) \, dx - \int_{-\infty}^{0} P(X \leq x) \, dx$E[X] = \int_{0}^{\infty} P(X > x) \, dx - \int_{-\infty}^{0} P(X \leq x) \, dx$。
• 收敛性条件：公式成立要求 E[X]$E[X]$ 存在（即积分收敛）。否则，右边积分可能发散。

💎 总结

非负随机变量的期望公式之所以成立，是因为它本质上是期望定义的积分变换形式，通过分部积分或积分交换揭示了期望与尾部概率的等价关系。这个公式在概率论、统计学和机器学习中广泛应用，例如：

• 简化计算：当PDF复杂时，直接积分 P(X > x)$P(X > x)$ 更便捷（如处理极值分布）。
• 理论推导：用于证明马尔科夫不等式、分析风险模型等。

证明 \lim_{x \to \infty} x (1 - F(x)) = 0$\lim_{x \to \infty} x (1 - F(x)) = 0$（当 E[X] < \infty$E[X] < \infty$）

证明思路：利用积分尾部的收敛性和不等式放缩。

证明步骤：

1. 由于 X$X$ 是非负随机变量且 E[X] < \infty$E[X] < \infty$，期望可表示为：

E[X] = \int_0^\infty t f(t) \, dt < \infty,

其中 f(t)$f(t)$ 是概率密度函数（对于离散随机变量，证明类似，将积分换为求和）。

2. 考虑尾部期望：对于任意 x > 0$x > 0$，有：

\int_x^\infty t f(t) \, dt \geq \int_x^\infty x f(t) \, dt = x \int_x^\infty f(t) \, dt = x (1 - F(x)).

这里，不等式成立是因为在积分区间 [x, \infty)$[x, \infty)$ 上，有 t \geq x$t \geq x$，所以 t f(t) \geq x f(t)$t f(t) \geq x f(t)$。

3. 因此，我们得到：

0 \leq x (1 - F(x)) \leq \int_x^\infty t f(t) \, dt.

4. 由于 E[X] < \infty$E[X] < \infty$，积分 \int_0^\infty t f(t) \, dt$\int_0^\infty t f(t) \, dt$ 收敛，这意味着尾部积分趋于零：

\lim_{x \to \infty} \int_x^\infty t f(t) \, dt = 0.

5. 由夹逼定理（squeeze theorem），有：

\lim_{x \to \infty} x (1 - F(x)) = 0.

证毕。

💡 补充说明

• 这个证明适用于连续和离散随机变量（离散情况下，积分改为求和，同样有类似不等式）。
• 条件 E[X] < \infty$E[X] < \infty$ 是必要的：如果 E[X] = \infty$E[X] = \infty$，则 \lim_{x \to \infty} x (1 - F(x)) = 0$\lim_{x \to \infty} x (1 - F(x)) = 0$ 可能不成立（例如，帕累托分布当形状参数 \alpha \leq 1$\alpha \leq 1$ 时）。
• 在应用中，这个结果确保了非负随机变量期望公式 E[X] = \int_0^\infty P(X > x) \, dx$E[X] = \int_0^\infty P(X > x) \, dx$ 的正确性。