Margrabe公式是用一种资产交换另一种资产的期权公式，标准看涨期权和看跌期权是用现金交换资产或者资产交换现金，是交换期权的一个特例。
可以从Margrabe公式推导出Black公式，Black公式是以远期和期货为标的的期权公式。
可以从Black公式推导出Merton公式，Merton公式是不存在常数无风险利率情况下的看涨期权和看跌期权公式。
本章将不再嘉定存在无风险资产，这意味着市场是不完全的，存在多个风险中性测度。
经典的Black-Scholes公式：

e^{-qT}S(0)N(x)-e^{-rT}KN(y) \tag{7.1a}

其中

x=\frac{\log{\frac{S(0)}{K}}+(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} \tag{7.1b}

y=x-\sigma\sqrt{T} \tag{7.1c}

注意e^{-qT}S(0)$e^{-qT}S(0)$是当期被执行时所得到的股票在0时的现值，是为在T时能够得到一份股票在0时需要付出的成本，在T时得到的股票中不包含其间的红利支付。
显然，e^{-rT}K$e^{-rT}K$是期权被执行时需要支付现金的现值。
此外，x等于

\frac{\log(\frac{e^{-qT}S(0)}{e^{-rT}K})+\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}

分子中对数的自变量是两个现值的比值。
本章所有的期权定价公式都具有相同的形式：
未来得到的资产现值乘以N(x)$N(x)$，减去要交付的资产现值乘以N(y)$N(y)$，并且在各种情况下，x总是等于两个现值比值的对数加上\frac{1}{2}\sigma^2T$\frac{1}{2}\sigma^2T$，再除以\sigma\sqrt{T}$\sigma\sqrt{T}$，而y总是由(7.1c)得到。

以看跌期权为例：
公式：

e^{-rT}KN(-d_2)-e^{-qT}S(0)N(-d_1) \tag{7.2a}

其中

\begin{aligned}
x&=-d_2\\
&=-\frac{\log(\frac{S(0)}{K})+(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}\\
&=\frac{\log(\frac{e^{-rT}K}{e^{-qT}S(0)})+\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}
\end{aligned} \tag{7.2b}

\begin{aligned}
y&=-d_1\\
&=-\frac{\log(\frac{S(0)}{K})+(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}\\
&=x-\sigma\sqrt{T}
\end{aligned} \tag{7.2c}

Margrabe公式

考虑价格分别为S_1$S_1$和S_2$S_2$的两种资产以及在时刻T用资产2交换资产1的一份欧式期权。
期权在到期日的价值为

\max(0,S_1(T)-S_2(T))

注意，看涨期权和看跌期权并没有实质性差别：交换期权既可以看做以第一种资产为标的、执行价格为随机变量S_2(T)$S_2(T)$的看涨期权，也可以看作以第二种资产为标的、执行价格为随机变量S_1(T)$S_1(T)$的看跌期权。
假设资产的红利支付率为常数q_i$q_i$，资产价格满足方程

\frac{dS_i}{S_i}=\mu_idt+\sigma_idB_i

其中B_i$B_i$为实际概率测度下的布朗运动。
漂移项\mu_i$\mu_i$可以是很一般的随机过程，波动率\sigma_i$\sigma_i$和两个布朗运动的相关系数\rho$\rho$可以是随机过程。不过需要假定由

\sigma=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2} \tag{7.3}

定义的\sigma$\sigma$为常数。
由(2.40)可知，\sigma$\sigma$是S_1/S_2$S_1/S_2$的波动率（也是S_2/S_1$S_2/S_1$的波动率）。因此，这相当于假定资产价格比值的波动率为常数。
margrabe公式为：
T时交换两种资产的欧式期权价值为

\boxed{e^{-q_1T}S_1(0)N(d_1)-e^{-q_2T}S_2(0)N(d_2)} \tag{7.4a}

其中

d_{1}=\frac{\log\left(\frac{S_{1}(0)}{S_{2}(0)}\right)+\left(q_{2}-q_{1}+\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}} \tag{7.4b} 

d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \tag{7.4c}

可以取第二种资产的单位资产作为“货币”，即用第二种资产为计价物。采用第二种资产为计价物时，第一种资产的价值为S_1/S_2$S_1/S_2$。交换期权在到期日的价值为

\max(0,S_1(T)-S_2(T))=S_2(T)\max(0,\frac{S_1(T)}{S_2(T)}-1)

这是以自然货币计价的期权价值。
如果上式除以S_2(T)$S_2(T)$就得到以第二种资产为计价物的期权价值，即

\max(0,\frac{S_1(T)}{S_2(T)}-1)

而这是一个标准看涨期权的价值。
使用标准Black-Scholes公式计算得到的价值乘以S_2(0)$S_2(0)$就是以自然货币计价的期权价值。
以第二种资产为计价物时，无风险收益率等于第二种资产的红利支付率q_2$q_2$。
第一种资产的红利支付率仍然是q_1$q_1$。以自然货币计价时，资产在瞬时时间间隔dt上的红利支付为q_1S_1(t)dt$q_1S_1(t)dt$，采用第二种资产为计价物时的红利支付值为[q_1S_1(t)/S_2(t)]dt$[q_1S_1(t)/S_2(t)]dt$，等于以第二种资产为计价物时第一种资产的价值S_1(t)/S_2(t)$S_1(t)/S_2(t)$乘以q_1 dt$q_1 dt$.
以第二种资产为计价物时的第一种资产的波动率等于比值S_1(t)/S_2(t)$S_1(t)/S_2(t)$的波动率，即（7.3）。
以上述参数作为输入项，采用Black-Scholes公式可以直接得出Margrabe公式。

Black公式

Black公式给出了确定性（即非随机性）利率条件下以期货合约为标的的期权价值。
当利率为确定性时，期货价格应该等于远期价格。
因此，Black公式也给出了确定性（即非随机性）利率条件下以远期合约为标的的期权价值。
因为以远期为标的的期权价值公式具有更为广泛的实用性（即使在利率随机变化的情况下仍然适用），因此现在谈到Black公式时，更多地是指以远期为标的的期权价值公式。
定义：
持有远期看涨期权多头的投资者，可以在期权到期日T$T$行权，从而以期权执行价格（即远期价格）在远期合约到期日T'(T' \geq T)$T'(T' \geq T)$买入标的资产并支付对应价款。
即，看涨期权的执行将产生一个远期合约多头，合约价格等于期权的执行价格；远期合约多头意味着投资者在T'$T'$将获得标的资产，同时支付远期合约的价格（即期权的执行价格）。因此，执行价格不再合约执行时支付，而是在标的资产转交时支付。
对称地，看跌期权的执行将产生一个远期合约空头，合约价格等于期权的执行价格，这意味着在T'$T'$合约执行者交付标的资产，同时得到执行价格规定的现金。
用F(t)$F(t)$表示远期的市场价格，并假定远期价格满足

\frac{dF}{F}=\mu dt+\sigma dB \tag{7.5}

当假定利率是随机的，Black公式尤其有用。现在不假设存在一个常数无风险利率，而是假设存在一个“贴现债券”，该债券在时间T'$T'$支付$1.（之所以称为“贴现债券”，是因为其价格在计算T'$T'$时发生的非随机现金流的现值时可以作为合适的贴现因子），这样的债券又称为“零息债券”。用P(t,T')$P(t,T')$表示债券t时的价格。
Black公式为：

设远期合约到期日为T'$T'$，以该合约为标的、执行价格为K、到期日为T的欧式期权在0时的价值为

\boxed{\text{看涨期权价格}=P(0,T')F(0)N(d_1)-P(0,T')KN(d_2)}\tag{7.6a}

\boxed{\text{看跌期权价格}=P(0,T')KN(-d_2)-P(0,T')F(0)N(-d_1)}\tag{7.6b}

其中

d_1=\frac{\log(\frac{F(0)}{K})+\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}} \tag{7.6c}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T} \tag{7.6d}

Black公式只是Margrabe公式的一个简单结果。
首先需要对以远期合约为标的的期权在其到期日T的价值进行分析。
考虑看涨期权的情形。看涨期权执行将产生一个远期价格为K的远期合约多头头寸。要注意，远期合约的价格是在标的资产交付时间T'$T'$才进行支付的。因此，假定你执行一份看涨期权，然后以市场价F(T)$F(T)$卖出一份远期合约，则交付和收到的远期合约多头头寸与空头头寸相互抵消，使得在T'$T'$支付K美元，并在T'$T'$时得到F(T)$F(T)$美元。T时净现金流的价值为P(T,T')[F(T)-K]$P(T,T')[F(T)-K]$，即合约执行时期权的价值，因此看涨期权在T时的价值为

\max(0,P(T,T')[F(T)-K])=\max(0,P(T,T')F(T)-P(T,T')K) \tag{7.7}

上式也可以写为

\max(0,S_1(T)-S_2(T)) \tag{7.8}

其中S_1(T)$S_1(T)$和S_2(T)$S_2(T)$定义为

S_1(t)=P(t,T')F(t),S_2(t)=P(t,T')K \tag{7.9}

在t=T处的值。因此，以远期合约为标的的看行期权的到期日价值（T时），是价格为S_1$S_1$和S_2$S_2$的两种资产的互换期权的到期日价值（T时）。
由此可以得出，以远期合约为标的的看涨期权的0时价值，是两种资产互换期权的0时价值。

现在考虑以远期合约为标的的看跌期权。执行一份看跌期权同时以市场价F(T)$F(T)$买入一份远期合约来抵减远期合约空头头寸，由此得出在远期合约到期日T'$T'$时收到的净现金流为K-F(T)$K-F(T)$。因此，看跌期权在到期日的价值为

\max(0,P(T,T')[K-F(T)])=\max(0,S_2(T)-S_1(T)) \tag{7.10}

因此，以远期合约为标的的看跌期权的0时价值，必定为一个交换期权的0时价值。

在Margrabe公式的推导中，关键假设是资产价格比值的波动率为常数。以远期合约为标的的看涨期权对应的比值为S_1/S_2=F/K$S_1/S_2=F/K$，K为常数，因此比值的波动率等于远期价格F的波动率\sigma$\sigma$，而我们已经在（7.5）假定\sigma$\sigma$为常数。以远期合约为标的的看跌期权对应的比值为S_2/S_1=K/F$S_2/S_1=K/F$，由伊藤公式得出

\begin{aligned}
\frac{d(K/F)}{K/F}&=-\frac{dF}{F}+(\frac{dF}{F})^2\\
&=(-\mu+\sigma^2)dt-\sigma dB\\
&=(-\mu+\sigma^2)dt+\sigma(-dB)
\end{aligned}

在Margrabe公式中取S_1(0)=P(0,T')F(0),S_2(0)=P(0,T')K,q_1=0,q_2=0$S_1(0)=P(0,T')F(0),S_2(0)=P(0,T')K,q_1=0,q_2=0$，即可得出以远期合约为标的的看涨期权价格的Black公式(7.6a)。
看跌期权是一个相反的互换期权，因此由Margrabe公式得出(7.6b)。

现在解释为什么(7.9)定义的S_1$S_1$和S_2$S_2$是资产价格，并且因为在应用Margrabe公式时取q_1=q_2=0$q_1=q_2=0$，S_1$S_1$和S_2$S_2$实际上是无红利支付的资产价格。

• S_2$S_2$：K单位T'$T'$到期的贴现债券的价格
• S_1$S_1$：在0时构建并持有到时间T的如下投资组合的价格：一份远期合约多头，同时买入F(0)$F(0)$单位到期日为T'$T'$的贴现债券，在t时，投资组合中债券的价值为F(0)P(t,T')$F(0)P(t,T')$；而远期合约多头的价值可以通过在t时以市场价格F(t)$F(t)$卖出一份远期合约来抵减远期合约多头头寸看出，这样的操作抵消了标的资产的交、收责任，产生T'$T'$时的净现金流收入F(t)-F(0)$F(t)-F(0)$，现金流在t时的价值为P(t,T')[F(t)-F(0)]$P(t,T')[F(t)-F(0)]$，与债券价值相加得出P(t,T')F(t)=S_1(t)$P(t,T')F(t)=S_1(t)$。

以远期合约为标的的期权看涨-看跌评价关系为

\text{看涨期权价格}+P(0,T')K=\text{看跌期权价格}+P(0,T')F(0)

Merton公式

现在讨论不再假定存在常数无风险利率时的Black-Scholes公式，取而代之的是假定存在一个与期权具有相同到期日的贴现债券。
设期权和贴现债券的到期日为T，将t时(t \leq T)$(t \leq T)$的贴现债券写为P(t,T)$P(t,T)$。我们仍假定股票的红利支付率为常数q，但对波动率做出不同的假设--不再假设股票的波动率为常数，而是假定远期价格的波动率为常数。
以股票远期合约为例，到期日与期权到期日T相同。用F(t)$F(t)$表示时间t(t \leq T)$t(t \leq T)$的远期价格。因为合约到期日的远期价格必等于现货价格，因此F(T)=S(T)$F(T)=S(T)$。
考虑一份以远期合约为标的的看涨期权，远期合约到期日与看涨期权到期日T相同，按上一节的符号，即T=T'$T=T'$，因此P(T,T')=1$P(T,T')=1$。因此，以远期为标的的看涨期权在到期日T$T$的价值(7.7)为

\max(0,F(T)-K)=\max(0,S(T)-K)

与以股票为标的的看涨期权价值相同。因此，以股票为标的的看涨期权的0时价值与以远期为标的的看涨期权的0时价值相同，因而可以用远期为标的的看涨期权Black公式(7.6a)来对股票为标的的看涨期权进行定价，当然需要假定远期价格的波动率为常数。

• 1. 在讲解Merton公式前，首先提到这些内容的目的是什么？

• 核心目的：实现从“现货定价框架”到“远期定价框架”的范式转换，并为Merton公式在非恒定利率环境下的应用扫清障碍。

• 具体来说，这个铺垫有以下几个层面的深意：

• • 放宽Black-Scholes模型的严格假设： 标准的Black-Scholes模型假设无风险利率是恒定不变的。这在现实中几乎不成立。作者首先指出要放弃这个假设，承认利率是可变的，这使得模型更贴近现实。这是模型扩展的第一步。

    ```
    - **引入关键工具——折现债券P(t,T)：** 为了处理可变的利率，作者引入了与期权同时到期的折现债券 `P(t,T)`。这个工具至关重要，因为它充当了“时间机器”，可以将未来T时刻的现金流（如执行价格K）准确地折现回当前t时刻的价值。在利率可变的情况下，你不能简单地使用一个恒定的`r`来进行折现，而`P(t,T)`本身就蕴含了从当前时刻到到期日整个期间的利率期限结构信息。
        
    - **将焦点从“股票价格波动率”转向“远期价格波动率”：** 这是最精妙的一步。当利率变化时，即使股票本身的波动率恒定，其远期价格的波动率也会因为折现因子`P(t,T)`的波动而变得复杂。作者在这里做了一个关键的建模选择：**直接假设“远期价格”的波动率是恒定的（或确定性时变的）**，而不是去假设“股票价格”的波动率是恒定的。
        
    - - **这样做的好处是：** 它将所有关于利率的不确定性“打包”进了远期价格 `F(t)` 之中。在后续推导Merton公式时，我们只需要关心 `F(t)` 的行为，而无需再分别处理股票价格和利率的随机过程，极大地简化了问题。
            
            ```
            虽然在远期空间里我们仍然做了波动率恒定的假设，但这一转换的**意义非常重大**。它本质上是一种“问题降维”，将复杂问题转化到了一个更合适的平台上进行处理。
            
            下面这个表格清晰地对比了在“现货空间”和“远期空间”下定价的核心差异。
            ```
            
    - | 对比维度 | 现货定价框架 (传统BS思路) | 远期/期货定价框架 (Merton公式思路) |
        | --- | --- | --- |
        | **核心变量** | 标的资产现货价格 $S_t$ | 标的资产远期价格 $F(t, T)$ |
        | **波动率假设** | 假设现货价格波动率 $\sigma_S$ 恒定 | 假设**远期价格波动率** $\sigma_F$ 恒定 |
        | **利率与股息处理** | 需明确输入无风险利率 $r$ 和股息率 $q$ | 利率和股息的影响已**隐含**在远期价格 $F(t, T)$ 中 |
        | **模型复杂度** | 较高，需精确估计多个参数 | 较低，焦点集中于远期价格的波动性 |
        | 计算复杂度（非恒定环境） | 高，需要对利率和股息的未来路径进行复杂的积分或模拟 | 低，仅依赖当前市场可观测的远期价格和折现因子 |
        | 关键简化工具 | 无   | **折现债券** *P*(*t*,*T*)，用于将未来价值无偏地折现至今 |
        | **适用性** | 当利率和股息率不确定或可变时，模型会变得复杂 | **特别适用于处理可变利率和股息率的环境** |
        
    - ​ 转换的意义与优势：
        
    - ​ 从表格可以看出，转换到远期空间进行定价，主要带来了以下几方面的关键优势：
        
    - 1.  **简化模型输入，提升稳健性** 在现货框架下，期权价格对利率和股息率的估计误差非常敏感。而转换到远期空间后，远期价格 $F(t, T)$ 本身就是一个由市场决定的、包含了市场对未来利率和股息预期综合信息的变量。使用它作为定价基础，相当于直接用市场共识来抵消这些额外变量的不确定性，使模型在面对不确定的利率环境时更加**稳健** 。
        2.  **聚焦核心风险因子** 对于许多以期货为标的的期权（如商品期权、股指期货期权），其价格直接与远期合约挂钩。在这些情况下，远期价格本身就是更直接、更相关的标的变量。在此框架下定价，能够更清晰地**聚焦于核心风险因子**——远期价格本身的波动。
        3.  **为更复杂的模型铺平道路** 将定价框架建立在远期空间上，是许多现代高级金融模型的基础。例如在利率期权领域著名的**LIBOR市场模型**，以及商品衍生品定价中的**远期曲线模型** ，都是直接对整条远期曲线（即不同到期日的远期价格）的动态变化进行建模。因此，掌握在远期空间下的定价思想，是理解这些更复杂模型的重要阶梯。
    - ### 🔁 从恒定到随机：模型的自然演进
        
    - 当然，你可能会想到，假设远期波动率恒定仍然是对现实的简化。确实如此，这可以看作是模型演进过程中的一步：
        
    - - **基础模型**：在远期空间下假设波动率恒定，这已经是比在现货空间下更优的选择。
            - **高级模型**：为了捕捉“波动率微笑”等更复杂的市场现象，可以进一步将模型扩展为**随机波动率模型**（如Heston模型 ）或**局部波动率模型** 。这些高级模型往往同样是在远期空间的框架下进行构建和推导的。
    - 所以，从现货定价到远期定价的转换，是一个关键的**范式转换**。它并没有彻底解决波动率的问题，但通过巧妙地重组变量，它将一个多变量的复杂问题，简化成了一个以远期价格波动为核心的、更干净、更聚焦的问题。
        
    - ### 深入理解Merton公式的简化逻辑
        
    - Merton公式的精妙之处在于，它进行了一次关键的**问题转换**（Paradigm Shift）：
        
    - 1.  **从“现货空间”到“远期空间”**：经典BS模型在“现货空间”中工作，必须显式地处理利率和股息这两个变量及其未来的不确定性。而当这些变量不恒定时，问题会变得非常复杂，可能涉及对它们未来所有可能路径的积分。
            
            而Merton的框架则将定价问题转移到了“远期空间”。远期价格 *F*(*t*,*T*)本身就是一个由市场决定的、包含了市场对所有未来不确定性（包括利率变化、股息支付）综合预期的变量。
            
        2.  **折现债券 P(t,T)的核心作用**：`P(t,T)`是此转换的基石。它代表了当前市场对从现在到期权到期日 `T`之间的无风险折现因子。这个单一的数值已经蕴含了整个期限内的利率期限结构信息。在使用Merton公式时，您不需要知道利率具体会如何变化，只需要知道这个总体的折现效果 `P(t,T)`即可。
            
        3.  **聚焦核心风险源**：通过这种转换，模型将定价的焦点从“预测未来的利率和股息路径”转变为“评估远期价格 *F*(*t*,*T*)在到期前的波动性”。所有复杂的、多变量的不确定性被“打包”进了单一的远期价格及其波动率中。这使得模型在面对现实世界中不确定的利率和股息环境时，更加**稳健**和**实用**。
            
    - ### 💡 现实意义与影响
        
    - 这种简化具有重要的现实意义：
        
    - - **实用性**：在实际交易中，交易员更关心以远期或期货合约为标的的期权的定价。Merton框架直接使用这些可观测的市场价格作为输入，避免了估计未来利率和股息的难题，使定价更快捷、更可靠。
            - **理论桥梁**：这种在“远期空间”下定价的思想，为后来更复杂的金融模型（如利率衍生品领域的LIBOR市场模型）奠定了重要的基础。
    - 总而言之，Merton公式通过切换到远期定价框架并利用折现债券 `P(t,T)`，将一个多变量的动态复杂问题，优雅地简化为一个主要依赖于远期价格波动的、更易于处理的问题。
        
    - **总结一下这个目的：** 在引入Merton公式（用于支付连续股息的股票期权定价）之前，先建立一个更稳健、更通用的定价框架。这个框架通过使用远期合约和折现债券，巧妙地将复杂的、非恒定的利率问题，转化为一个关于远期价格的问题，从而为Merton公式在更现实条件下的应用铺平了道路。
        
    
    * * *
    
    - ### 2\. 假定远期合约的到期日和期权到期日相同，有什么用意？
        
    - **核心用意：建立到期价值的等价性，从而为使用Black公式定价股票期权提供合法性。**
        
    - 这个假设是整个逻辑链条的基石，其用意具体体现在：
        
    - - **确保到期价值完全相同：** 根据远期合约的定义，在到期日T，远期价格 `F(T)` 必须等于标的资产的即期价格 `S(T)`。因此，一个执行价为K、到期日为T的**远期看涨期权**在到期时的收益为 `max(0, F(T) - K)`。而一个执行价为K、到期日为T的**股票看涨期权**在到期时的收益为 `max(0, S(T) - K)`。由于 `F(T) = S(T)`，这两个收益函数是完全一致的。 `远期看涨期权到期收益 = max(0, F(T) - K) = max(0, S(T) - K) = 股票看涨期权到期收益`
            - **应用无套利原理：** 在到期日价值完全相同的两项资产，在当前时刻（0时刻）的价值也必然相同，否则就存在无风险的套利机会。因此，我们可以得出一个强有力的结论：**股票看涨期权的当前价值，必须等于与之对应的远期看涨期权的当前价值。**
            - **打通使用Black公式的路径：** Black公式最初就是为远期/期货期权定价而设计的。既然我们已经证明了股票期权在价值上等同于一个特定（到期日相同）的远期期权，那么我们就可以“借道”Black公式来为股票期权定价。我们只需要将Black公式中的远期价格参数，替换为我们这里定义的股票远期价格 `F(t)` 即可。
    - **总结一下这个用意：** 设定相同的到期日，是为了创造一个“完美映射”，使得股票期权的定价问题，可以完全等价地转化为一个我们已有现成解决方案（Black公式）的远期期权定价问题。这是一个非常巧妙的理论桥梁，极大地扩展了Black公式的应用范围。
        
    - ### 总体结论
        
    - 这段内容的核心思想是**问题转化**。它通过引入折现债券和远期合约，将一个在“现货空间”里很复杂的问题（非恒定利率下的股票期权定价），成功地转化为了一个在“远期空间”里更简单的问题（恒定波动率下的远期期权定价）。这样，就可以直接套用成熟的Black公式，从而优雅地推广了Black-Scholes-Merton模型。这是在讲解Merton公式之前，先建立一个更强大、更通用理论框架的典型做法。
    ```
    

并不需要假设远期合约是可交易的，因为可以用股票合成远期合约。在t合成一份远期合约，需要买入e^{-q(T-t)}$e^{-q(T-t)}$份股票，购买成本为e^{-q(T-t)}S(t)$e^{-q(T-t)}S(t)$，将红利进行再投资，到T时累计为1份股票。用卖空e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$单位贴现债券得到的收入作为购买股票的资金（在t时刻，到期时间为T的贴现债券价格为P(t,T)，故需要e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$单位的贴现债券才能凑够股票的购买成本）。这样将产生时间T时的负债e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$，因此买入的远期必须在交割日产生e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$的收入，即远期价格为

F(t)=\frac{e^{-q(T-t)}S(t)}{P(t,T)} \tag{7.12}

要采用Black公式，需要假设

\frac{dF}{F}=\mu dt+\sigma dB \tag{7.13}

其中B是布朗运动，\mu$\mu$可以是一般的随机过程，\sigma$\sigma$为常数。
在这个假设下，取F(0)=e^{-qT}S(0)/P(0,T)$F(0)=e^{-qT}S(0)/P(0,T)$,从Black公式（7.6）立即可以得出如下公式：

设远期价格的波动率为常数\sigma$\sigma$，股票的红利支付率为常数q，则以股票为标的、到期日为T的欧式看涨期权和看跌期权在0时的价值为：

\boxed{\text{看涨期权价格}=e^{-qT}S(0)N(d_1)-P(0,T)KN(d_2)} \tag{7.14a}

\boxed{\text{看跌期权价格}=P(0,T)KN(-d_2)-e^{-qT}S(0)N(-d_1)} \tag{7.14b}

其中

d_1=\frac{\log(\frac{S(0)}{KP(0,T)})-qT+\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}} \tag{7.14c}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T} \tag{7.14d}

将贴现债券价格用其收益率表示，贴现债券收益率y定义为：

y=\frac{-log P(0,T)}{T} \Leftrightarrow P(0,T)=e^{-yT}

(7.14)中带入上式可得：

设远期价格的波动率为常数\sigma$\sigma$，股票的红利支付率为常数q，则以股票为标的、到期日为T的欧式看涨期权和看跌期权在0时的价值为：

\boxed{\text{看涨期权价格}=e^{-qT}S(0)N(d_1)-e^{-yT}KN(d_2)} \tag{7.15a}

\boxed{\text{看跌期权价格}=e^{-yT}KN(-d_2)-e^{-qT}S(0)N(-d_1)} \tag{7.15b}

其中

d_1=\frac{\log(\frac{S(0)}{K})+(y-q+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} \tag{7.15c}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T} \tag{7.15d}

Merton公式是Black-Scholes公式的一个重要推广。实际中常见的做法，是用贴现债券收益率作为Black-Scholes公式中的无风险利率，而Merton公式表明，这样做是合理的。不过，对远期价格的波动率进行估计，然后用估计出的波动率作为Black-Scholes-Merton公式中的波动率的做法（由于无风险利率实际上并非常数，因此应该如此）在实际中并不常用。
但是，这对短期期权的定价并没有太大影响，因为短期债券价格的波动较低，对于短期期权来说，短时间内远期价格的波动率近似等于标的资产的波动率。
此外，当从Black-Scholes公式（以贴现债券收益率为无风险利率）中计算隐含波动率时，计算出的波动率可以看做市场对远期价格波动率的预期，因此以此作为Black-Scholes-Merton公式的输入项来对其他期权进行定价时十分恰当的（当然需要假定，市场将远期价格波动率看做常数）。

远期价格波动率可以通过股票波动率、债券波动率及其相关系数加以计算。
假定

\frac{dS}{S}=\mu_sdt+\sigma_s dB_s

\frac{dP}{P}=\mu_pdt+\sigma_p dB_p

其中B_s$B_s$和B_p$B_p$为布朗运动，相关系数为\rho$\rho$。由（2.38）和（2.40）得出，e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$e^{-q(T-t)}S(t)/P(t,T)$的波动率为\sigma$\sigma$，\sigma$\sigma$定义为

\sigma=\sqrt{\sigma_s^2+\sigma_p^2-2\rho \sigma_s \sigma_p} \tag{7.16}

三者的核心差异对比表格：

Margrabe公司、Black公式和Merton公式的典型应用

以下是每个公式的典型应用场景示例，结合实际金融需求说明用法：

1. Margrabe 公式：公司并购中的股票交换期权
   场景：A 科技公司计划并购 B 制造公司，约定 B 公司股东在 1 年后有权以 “1 股 B 公司股票” 交换 “0.5 股 A 公司股票”（欧式期权）。
   参与方：A 公司（期权卖方）、B 公司股东（期权买方）。
   需求：双方需要确定这份 “股票交换权利” 的当前价值，用于并购对价谈判。
   为什么用 Margrabe 公式：
   该期权的本质是 “以 B 股（资产 2）交换 A 股（资产 1）”，符合 Margrabe 公式 “两种资产互换” 的定价对象；同时 A 股、B 股均有稳定分红（对应q_1$q_1$、q_2$q_2$），且两者股价的相对波动率（σ=σ_A^2+σ_B^2−2ρσ_Aσ_B$σ=σ_A^2+σ_B^2−2ρσ_Aσ_B$）可通过历史数据估算为常数，满足公式假设。
   公式：
   \text{交换期权价值} = e^{-q_1 T} S_1(0) N(d_1) - e^{-q_2 T} S_2(0) N(d_2)$\text{交换期权价值} = e^{-q_1 T} S_1(0) N(d_1) - e^{-q_2 T} S_2(0) N(d_2)$
   d_1 = \frac{\log\left(\frac{S_1(0)}{S_2(0)}\right) + \left(q_2 - q_1 + \frac{1}{2}\sigma^2\right) T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$d_1 = \frac{\log\left(\frac{S_1(0)}{S_2(0)}\right) + \left(q_2 - q_1 + \frac{1}{2}\sigma^2\right) T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$
   \sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2}$\sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2}$
   简化计算步骤
   (1) 收集基础参数

• S_1(0) $S_1(0)$：A 公司当前股价（如：100 美元 / 股）

• S_2(0) $S_2(0)$：B 公司当前股价（如：40 美元 / 股）

• q_1$q_1$：A 公司股息率（如：分红 2 美元 / 股 → q_1=2/100=2\%$q_1=2/100=2\%$）

• q_2$q_2$：B 公司股息率（如：分红 1 美元 / 股 → q_2=1/40=2.5\%$q_2=1/40=2.5\%$）

• T$T$：期权期限（如：1 年）

• \sigma_1$\sigma_1$：A 公司股价波动率（历史数据→20%）

• \sigma_2$\sigma_2$：B 公司股价波动率（历史数据→15%）

• \rho$\rho$：A、B 股价相关系数（历史数据→0.6）

(2) 计算相对波动率

\sigma = \sqrt{0.2^2 + 0.15^2 - 2×0.6×0.2×0.15} ≈ 0.147$\sigma = \sqrt{0.2^2 + 0.15^2 - 2×0.6×0.2×0.15} ≈ 0.147$

(3) 计算

d_1 = \frac{\log\left(\frac{100}{40}\right) + \left(0.025 - 0.02 + \frac{1}{2}×0.147^2\right)×1}{0.147×\sqrt{1}} ≈ 2.43$d_1 = \frac{\log\left(\frac{100}{40}\right) + \left(0.025 - 0.02 + \frac{1}{2}×0.147^2\right)×1}{0.147×\sqrt{1}} ≈ 2.43$

d_2 = 2.43 - 0.147 ≈ 2.28$d_2 = 2.43 - 0.147 ≈ 2.28$

(4) 查正态分布表得

N(2.43)≈0.9925$N(2.43)≈0.9925$，N(2.28)≈0.9887$N(2.28)≈0.9887$

(5) 计算期权价值

\text{价值} = e^{-0.02×1}×100×0.9925 - e^{-0.025×1}×40×0.9887 ≈ 97.28 - 38.94=58.34\text{美元}$\text{价值} = e^{-0.02×1}×100×0.9925 - e^{-0.025×1}×40×0.9887 ≈ 97.28 - 38.94=58.34\text{美元}$
2. Black 公式：大宗商品期货的看涨期权
场景：某航空公司预计 1 年后需要采购 100 万桶原油，为避免油价上涨风险，计划买入 “1 年后到期、行权价为 80 美元 / 桶的原油期货看涨期权”（行权后将获得 “以 80 美元 / 桶买入原油期货” 的多头头寸）。
参与方：航空公司（期权买方）、期货经纪商（期权卖方）。
需求：计算这份原油期货期权的当前成本，用于对冲预算。
为什么用 Black 公式：
该期权的标的是 “原油期货合约”，符合 Black 公式 “远期 / 期货期权” 的定价范围；同时原油期货价格的波动率（σ）可通过期货市场数据估算为常数，且用 “1 年期国债（贴现债券P(0,1)）” 作为贴现因子（无需假设无风险利率为常数），满足公式假设。
公式
\text{期货看涨期权价值} = P(0,T') F(0) N(d_1) - P(0,T') K N(d_2)$\text{期货看涨期权价值} = P(0,T') F(0) N(d_1) - P(0,T') K N(d_2)$
d_1 = \frac{\log\left(\frac{F(0)}{K}\right) + \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$d_1 = \frac{\log\left(\frac{F(0)}{K}\right) + \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$
(1) 收集基础参数

• F(0)$F(0)$：当前原油期货价格（如：75 美元 / 桶）

• K$K$：行权价（如：80 美元 / 桶）

• T$T$：期权期限（如：1 年）

• P(0,1)$P(0,1)$：1 年期国债价格（贴现债券，如：95 美元 / 100 面值 → P(0,1)=0.95$P(0,1)=0.95$）

• \sigma$\sigma$：原油期货价格波动率（如：18%）

(2) 计算

d_1 = \frac{\log\left(\frac{75}{80}\right) + \frac{1}{2}×0.18^2×1}{0.18×\sqrt{1}} ≈ -0.27$d_1 = \frac{\log\left(\frac{75}{80}\right) + \frac{1}{2}×0.18^2×1}{0.18×\sqrt{1}} ≈ -0.27$

d_2 = -0.27 - 0.18 ≈ -0.45$d_2 = -0.27 - 0.18 ≈ -0.45$

(3) 查正态分布表得

N(-0.27)≈0.3936$N(-0.27)≈0.3936$，N(-0.45)≈0.3264$N(-0.45)≈0.3264$

(4) 计算期权价值

\text{价值} = 0.95×75×0.3936 - 0.95×80×0.3264 ≈ 27.74 - 24.81 = 2.93\text{美元/桶}$\text{价值} = 0.95×75×0.3936 - 0.95×80×0.3264 ≈ 27.74 - 24.81 = 2.93\text{美元/桶}$
4. Merton 公式：新兴市场的长期股票期权
场景：某投资机构计划投资印度某科技股的 “5 年期欧式看涨期权”，行权价为当前股价的 120%。印度市场无风险利率波动较大（无法假设为常数），但可通过印度国债市场获取 “5 年期贴现债券价格P(0,5)”。
参与方：投资机构（期权买方）、印度券商（期权卖方）。
需求：确定该长期股票期权的合理定价，避免因利率波动导致估值偏差。
为什么用 Merton 公式：
该期权的标的是股票（符合 Merton 公式的定价对象），且印度市场无风险利率随机（用贴现债券P(0,5)替代常数利率），同时股票有稳定分红（对应q）、股票远期价格的波动率可估算为常数，满足公式的核心假设。
公式
\text{股票看涨期权价值} = e^{-qT} S(0) N(d_1) - P(0,T) K N(d_2)$\text{股票看涨期权价值} = e^{-qT} S(0) N(d_1) - P(0,T) K N(d_2)$
d_1 = \frac{\log\left(\frac{S(0)}{K P(0,T)}\right) - qT + \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$d_1 = \frac{\log\left(\frac{S(0)}{K P(0,T)}\right) - qT + \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$
简化计算步骤
(1) 收集基础参数

• S(0)$S(0)$：当前股价（如：500 印度卢比 / 股）

• K$K$：行权价（500×120\%=600$500×120\%=600$卢比 / 股）

• q$q$：股票股息率（如：20 卢比 / 股分红 → q=20/500=4\%$q=20/500=4\%$）

• T$T$：期权期限（如：5 年）

• P(0,5)$P(0,5)$：5 年期印度国债价格（如：80 卢比 / 100 面值 → P(0,5)=0.8$P(0,5)=0.8$）

• \sigma$\sigma$：股票远期价格波动率（如：25%）
  (2) 计算** 、 **
  d_1 = \frac{\log\left(\frac{500}{600×0.8}\right) - 0.04×5 + \frac{1}{2}×0.25^2×5}{0.25×\sqrt{5}} ≈ \frac{\log(1.0417) - 0.2 + 0.15625}{0.559} ≈ 0.11$d_1 = \frac{\log\left(\frac{500}{600×0.8}\right) - 0.04×5 + \frac{1}{2}×0.25^2×5}{0.25×\sqrt{5}} ≈ \frac{\log(1.0417) - 0.2 + 0.15625}{0.559} ≈ 0.11$
  d_2 = 0.11 - 0.25×\sqrt{5} ≈ -0.45$d_2 = 0.11 - 0.25×\sqrt{5} ≈ -0.45$
  (3) 查正态分布表得** 、 **
  N(0.11)≈0.5438$N(0.11)≈0.5438$，N(-0.45)≈0.3264$N(-0.45)≈0.3264$
  (4) 计算期权价值
  \text{价值} = e^{-0.04×5}×500×0.5438 - 0.8×600×0.3264 ≈ 218.72 - 156.67 = 62.05\text{卢比/股}$\text{价值} = e^{-0.04×5}×500×0.5438 - 0.8×600×0.3264 ≈ 218.72 - 156.67 = 62.05\text{卢比/股}$

  延迟交换期权

  以远期为标的的看涨期权，可以看作在远期合约到期日用K美元（或者等价的，到期日与远期合约相同的K单位贴现债券）交换标的资产的交换期权。
  因此，这是一个交换期权，交换的发生日为期权到期日之后的某个固定日期。
  Margrabe可以很容易地推广到其他资产交换期权的定价上，只要期权到期日在交换发生日之前。考虑价格为S_i$S_i$、红利支付率为常数q_i$q_i$的两种资产，并假定价格满足

\frac{dS_i}{S_i}=\mu_i dt+\sigma_i dB_i

其中漂移项\mu_i$\mu_i$、波动率\sigma_i$\sigma_i$和布朗运动的关系都可以是一般的随机过程。但要假定两种资产的价格比值的波动率

\sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2}

为常数。
考虑到期日为T、并在T'$T'$时(T' \geq T$T' \geq T$)用第二种资产交换第一种资产的交换期权。
为理解期权在T时的价值，假设期权被执行。为了抵消两种资产的头寸，投资者可以卖出一份要收到的资产的远期合约，而买入一份要交付资产的远期合约，远期合约的到期日为资产交换发生日。则远期价格差F_1(T)-F_2(T)$F_1(T)-F_2(T)$是在资产交换发生日T'$T'$将要得到/支出的现金流，该现金流在T时的价值为P(T,T')[F_1(T)-F_2(T)]$P(T,T')[F_1(T)-F_2(T)]$。因此期权在到期日T的价值为

\max(0,P(T,T')F_1(T)-P(T,T')F_2(T))

这种方法不要求存在可交易的远期合约，远期合约可以用合成的方法得出。
又

S_1^*(t)=P(t,T')F_1(t),\quad S_2^*(t)=P(t,T')F_2(t)

是无红利支付的资产价格，因此在T'$T'$进行资产交换的期权，与在T时进行价格为S^*_i$S^*_i$的两种资产交换的期权必定具有相同的价值。
远期价格的套利公式为（7.12）：

F_i(t)=\frac{e^{-q_i(T'-t)}S_i(t)}{P(t,T')}

因此

S_i^*(t)=e^{-q_i(T'-t)}S_i(t)

这说明比值S_1^*/S_2^*$S_1^*/S_2^*$的波动率与比值S_1/S_2$S_1/S_2$的波动率相同，因此可以用Margrabe公式对延迟交换期权进行定价，公式中的资产初始价格取为S_i^*(0)=e^{-q_iT'}S_i(0)$S_i^*(0)=e^{-q_iT'}S_i(0)$，红利支付率为0.由此得出：

到期日为T、在T'$T'$时进行两种资产交换的欧式期权的价值为

\boxed{e^{-q_1T'}S_1(0)N(d_1)-e^{-q_2T'}S_2(0)N(d_2)} \tag{7.17a}

其中

d_{1}=\frac{\log\left(\frac{S_{1}(0)}{S_{2}(0)}\right)+(q_{2}-q_{1})T'+\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}} \tag{7.17b} 

d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \tag{7.17c}

程序实现

每个期权价值都等于期权执行时所得价值的现值乘以N(x)，减去期权执行时所支付价值的现值乘以N(y)，x等于两个现值比的对数加上\sigma^2T$\sigma^2T$的\frac{1}{2}$\frac{1}{2}$，再除以\sigma\sqrt{T}$\sigma\sqrt{T}$。
对于以远期合约为标的的期权，两个现值等于远期合约到期日所得到价值和所支付价值的现值。

pub fn Generic_Option(P1:f64,P2:f64,sigma:f64,T:f64)->f64{
    //输入参数
    //P1=将要得到的资产的现值
    //P2=将要支付的资产的现值
    //sigma=波动率
    //T=到期时间
    let x=((P1/P2).ln()+0.5*sigma.powi(2)*T)/(sigma*T.sqrt());
    let y=x-sigma*T.sqrt();
    let standard_norm=Normal::new(0.0,1.0).unwrap();
    //调用 standard_normal.cdf(x) 即可计算出 P (X ≤ x) 的值
    let n_d1=standard_norm.cdf(x);
    let n_d2=standard_norm.cdf(y);
    P1*n_d1-P2*n_d2
}

pub fn Margrabe(S1:f64,S2:f64,sigma:f64,q1:f64,q2:f64,T:f64)->f64{
    //输入参数
    //S1=将要得到的资产的价格
    //S2=将要支付的资产的价格
    //sigma=波动率
    //q1=将要得到的资产的红利支付率
    //q2=将要支付的资产的红利支付率
    //T=到期时间
    let margrabe_price=Generic_Option(S1*(-q1*T).exp(),S2*(-q2*T).exp(),sigma,T);
    margrabe_price
}

pub fn Black_Call(F:f64,K:f64,P:f64,sigma:f64,T:f64)->f64{
    //输入参数
    //F1=远期价格
    //K=执行价格
    //P=和远期合约同时到期的贴现债券价格
    //sigma=远期价格波动率
    //T=到期时间
    let Black_Call_Price=Generic_Option(F*P,K*P,sigma,T);
    Black_Call_Price
}

pub fn Black_Put(F:f64,K:f64,P:f64,sigma:f64,T:f64)->f64{
    //输入参数
    //F1=远期价格
    //K=执行价格
    //P=和远期合约同时到期的贴现债券价格
    //simga=远期价格波动率
    //T=到期时间
    let Black_Put_Price=Generic_Option(K*P,F*P,sigma,T);
    Black_Put_Price
}

pub fn Margrabe_Deferred(S1:f64,S2:f64,sigma:f64,q1:f64,q2:f64,Tm:f64,Te:f64)->f64{
    //输入参数
    //S1=将要得到的资产的价格
    //S2=将要支付的资产的价格
    //sigma=波动率
    //q1=将要得到的资产的红利支付率
    //q2=将要支付的资产的红利支付率
    //Tm=期权到期时间
    //Te=到交换发生的时间（大于等于Tm)
    let Margrabe_deferred=Generic_Option(S1*(-q1*Te).exp(),S2*(-q2*Te).exp(),sigma,Tm);
    Margrabe_deferred
}

pub fn Generic_Option(P1:f64,P2:f64,sigma:f64,T:f64)->f64{
    //输入参数
    //P1=将要得到的资产的现值
    //P2=将要支付的资产的现值
    //sigma=波动率
    //T=到期时间
    let x=((P1/P2).ln()+0.5*sigma.powi(2)*T)/(sigma*T.sqrt());
    let y=x-sigma*T.sqrt();
    let standard_norm=Normal::new(0.0,1.0).unwrap();
    //调用 standard_normal.cdf(x) 即可计算出 P (X ≤ x) 的值
    let n_d1=standard_norm.cdf(x);
    let n_d2=standard_norm.cdf(y);
    P1*n_d1-P2*n_d2
}

pub fn Margrabe(S1:f64,S2:f64,sigma:f64,q1:f64,q2:f64,T:f64)->f64{
    //输入参数
    //S1=将要得到的资产的价格
    //S2=将要支付的资产的价格
    //sigma=波动率
    //q1=将要得到的资产的红利支付率
    //q2=将要支付的资产的红利支付率
    //T=到期时间
    let margrabe_price=Generic_Option(S1*(-q1*T).exp(),S2*(-q2*T).exp(),sigma,T);
    margrabe_price
}

pub fn Black_Call(F:f64,K:f64,P:f64,sigma:f64,T:f64)->f64{
    //输入参数
    //F1=远期价格
    //K=执行价格
    //P=和远期合约同时到期的贴现债券价格
    //sigma=远期价格波动率
    //T=到期时间
    let Black_Call_Price=Generic_Option(F*P,K*P,sigma,T);
    Black_Call_Price
}

pub fn Black_Put(F:f64,K:f64,P:f64,sigma:f64,T:f64)->f64{
    //输入参数
    //F1=远期价格
    //K=执行价格
    //P=和远期合约同时到期的贴现债券价格
    //simga=远期价格波动率
    //T=到期时间
    let Black_Put_Price=Generic_Option(K*P,F*P,sigma,T);
    Black_Put_Price
}

pub fn Margrabe_Deferred(S1:f64,S2:f64,sigma:f64,q1:f64,q2:f64,Tm:f64,Te:f64)->f64{
    //输入参数
    //S1=将要得到的资产的价格
    //S2=将要支付的资产的价格
    //sigma=波动率
    //q1=将要得到的资产的红利支付率
    //q2=将要支付的资产的红利支付率
    //Tm=期权到期时间
    //Te=到交换发生的时间（大于等于Tm)
    let Margrabe_deferred=Generic_Option(S1*(-q1*Te).exp(),S2*(-q2*Te).exp(),sigma,Tm);
    Margrabe_deferred
}

希腊字母和对冲

能简化计算的关系式有：

\boxed{e^{-q_1T}S_1(0)n(d_1)=e^{-q_2T}S_2(0)n(d_2)}

取q_1=q_2=0,S_1(0)=P(0,T')F(0)$q_1=q_2=0,S_1(0)=P(0,T')F(0)$和S_2(0)=P(0,T')K$S_2(0)=P(0,T')K$得出

\boxed{F(0)n(d_1)=Kn(d_2)}

看涨期权Black公式和Margrabe公式的希腊字母为：

Margrabe公式的对冲和Black公式的对冲大同小异。用持有\delta_1=e^{-q_{1}T}\,N(d_{1})$\delta_1=e^{-q_{1}T}\,N(d_{1})$单位的第一种资产和\delta_2=e^{-q_{2}T}\,N(d_{2})$\delta_2=e^{-q_{2}T}\,N(d_{2})$单位的第二种资产（即卖空第二种资产）对卖出的交换期权进行德尔塔对冲。
注意，卖出期权所得刚好为对冲提供资金，因此整个投资组合的成本为0.如果连续不断地对投资组合进行调整，则这个0成本投资组合的收益也为0。
Black公式是Margrabe公式的特例，可以按照同样的方法对远期合约为标的的期权进行德尔塔对冲。令q_1=q_2=0,S_1(0)=P(0,T')F(0)$q_1=q_2=0,S_1(0)=P(0,T')F(0)$和S_2(0)=P(0,T')K$S_2(0)=P(0,T')K$，用买入N(d_1)$N(d_1)$单位的第一种资产、卖出N(d_2)$N(d_2)$单位的第二种资产的方法可以对卖出的看涨期权进行德尔塔对冲，其中的d_1$d_1$和d_2$d_2$由Margrabe公式中(7.4b)和(7.4c)定义，并等价于Black公式中(7.6b)和(7.6c)给出的定义。这里，第一种资产由一份远期合约多头和F(0)单位贴现债券构成，第二种资产由K单位贴现债券构成。因此，应该买入N(d_1)F(0)-N(d_2)K$N(d_1)F(0)-N(d_2)K$单位的贴现债券并持有N(d_1)$N(d_1)$单位的远期合约多头头寸。

远期价格和期货价格的关系

远期合约和期货合约的区别在于，期货是逐日盯市的，即每日的收益和损失都在投资者的保证金账户中进行结算，因此期货具有期间现金流，而远期合约只有在到期日才有现金流发生。
三个十分重要的结论：

• 在风险中性测度下，期货价格是一个鞅
• 当采用与远期合约具有相同到期日的贴现债券作为计价物时，远期价格是一个鞅。
• 利率为非随机时，期货价格等于远期价格
  最后一个结论可以由前两个结论得出。

在风险中性测度下，期货价格是一个鞅

假设存在瞬时无风险资产，其收益率r随着时间的推移而随机变化，定义

R(t)=\exp(\int^t_0 r(s)ds)

令T'$T'$表示期货合约到期日，F^*(t)$F^*(t)$表示t(t\leq T')$t(t\leq T')$时的期货价格（用*将期货价格与远期价格区分开）。
考虑一个投资组合，开始时由0美元和一份价格为F^*(0)$F^*(0)$的期货合约多头组成，连续不断地将期货合约的盈利投资于无风险资产，而期货合约的损失则通过撤出无风险投资来弥补。
用V(t)$V(t)$表示该投资组合在t时的价值，投资组合价值的瞬时改变量为无风险资产的利息收入（当V<0时为支出）加上期货合约上的盈利/损失。由此得出

dV=rVdt+dF^*

由于投资者的所有盈利和损失都进行了再投资，V是无红利支付的资产价格。由此在风险中性测度下（以R为计价物），比值V/R必定是一个鞅。因此漂移为0。由Ito公式知

\begin{aligned}
\frac{d(V/R)}{V/R}&=\frac{dV}{V}-\frac{dR}{R}\\
&=\frac{rVdt+dF^*}{V}-rdt\\
&=\frac{dF^*}{V}
\end{aligned}

因此，V/R的漂移项为0意味着F^*$F^*$的漂移项为0。
这里需要假设（并且可以假设）F^*$F^*$是一个Ito过程，期望二阶变差有限，在这种情况下，漂移项为0意味着是一个鞅。

当采用与远期合约具有相同到期日的贴现债券作为计价物时，远期价格是一个鞅

考虑到期日为T'$T'$的一份远期合约和到期日也是T'$T'$的一单位贴现债券。用F(t)$F(t)$表示远期价格，P(t,T')$P(t,T')$表示t(t \leq T')$t(t \leq T')$时的贴现债券价格。存在价格为P(t,T')F(t)$P(t,T')F(t)$的无红利支付资产，以贴现债券为计价物时，比值P(t,T')F(t)/P(t,T')=F(t)$P(t,T')F(t)/P(t,T')=F(t)$为鞅，所以结论成立。
把贴现债券为计价物时对应的概率测度称为 “远期测度” 。

• 期货价格：以 “货币市场账户（即之前的(R(t))，连续复利的无风险资产）” 为计价单位（对应风险中性测度），期货价格是鞅；
• 远期价格：以 “同期限贴现债券” 为计价单位（对应远期测度），远期价格是鞅；
  两者的差异源于计价单位（测度）的选择，而这又对应了期货 “逐日盯市”、远期 “到期现金流” 的合约差异。

利率为非随机时，期货价格等于远期价格

核心逻辑是“利率确定时，期货/远期对应的两种概率测度重合，进而通过鞅性质推出价格相等”。结合前面的内容，拆解如下：

1. 前提：利率是“确定性的”
   这里的“利率确定性”是指：即使利率$$r(t)$$随时间变化，它也是非随机的（可预测的）。此时，到期日为$$T'$$的贴现债券，在0时刻的价格就是确定的贴现因子：

P(0,T') = \exp\left( -\int_0^{T'} r(t)dt \right)

（这是连续复利下的贴现债券定价：因为利率确定，贴现因子是唯一、确定的）
2. 关键：两种测度（计价单位对应的概率）重合
之前的内容提到：

• 期货价格对应风险中性测度（以“货币市场账户R(t)$R(t)$”为计价单位）；
• 远期价格对应远期测度（以“同期限贴现债券P(t,T')$P(t,T')$”为计价单位）。
  这里通过“状态价格\phi$\phi$”（用于表示不同状态下的资产价值权重），证明：当利率确定时，这两种测度是同一个测度。
  （1）远期测度下的事件概率（以贴现债券为计价单位）
  事件A$A$在远期测度下的概率为：

\text{prob}^P[A] = E\left[ 1_A \phi(T') \frac{P(T',T')}{P(0,T')} \right]

• 1_A$1_A$是“事件A$A$发生”的指示函数（发生为1，否则为0）；
• \phi(T')$\phi(T')$是到期日T'$T'$的状态价格；
• P(T',T') = 1$P(T',T') = 1$（贴现债券到期时的价格=面值，通常为1）。
  代入P(0,T') = \exp\left( -\int_0^{T'} r(t)dt \right)$P(0,T') = \exp\left( -\int_0^{T'} r(t)dt \right)$，化简得：

\text{prob}^P[A] = \exp\left( -\int_0^{T'} r(t)dt \right) E\left[ 1_A \phi(T') \right]

（2）风险中性测度下的事件概率（以货币市场账户为计价单位）
事件A$A$在风险中性测度下的概率为：

\text{prob}^R[A] = E\left[ 1_A \phi(T') \frac{R(T')}{R(0)} \right]

• R(t)$R(t)$是货币市场账户（0时刻投资1元、连续复利的无风险资产），故R(0)=1$R(0)=1$，R(T') = \exp\left( \int_0^{T'} r(t)dt \right)$R(T') = \exp\left( \int_0^{T'} r(t)dt \right)$（利率确定，故R(T')$R(T')$是确定值）。
  代入后化简得：

\text{prob}^R[A] = \exp\left( -\int_0^{T'} r(t)dt \right) E\left[ 1_A \phi(T') \right]

（3）结论：两种测度重合
对比两个概率公式，发现\text{prob}^P[A] = \text{prob}^R[A]$\text{prob}^P[A] = \text{prob}^R[A]$，即：
当利率确定时，远期测度（对应远期）和风险中性测度（对应期货）是同一个测度，对应的期望运算E^P$E^P$（远期测度下的期望）和E^R$E^R$（风险中性测度下的期望）相等。
3. 结合鞅性质，推出“期货价格=远期价格”
利用之前的鞅性质+到期价格的共性：

• 期货价格F^*(t)$F^*(t)$是风险中性测度下的鞅：F^*(t) = E_t^R\left[ F^*(T') \right]$F^*(t) = E_t^R\left[ F^*(T') \right]$；
• 远期价格F(t)$F(t)$是远期测度下的鞅：F(t) = E_t^P\left[ F(T') \right]$F(t) = E_t^P\left[ F(T') \right]$；
• 到期时，期货/远期价格都等于标的资产的即期价格：F^*(T') = F(T') = S(T')$F^*(T') = F(T') = S(T')$（因为到期时“远期/期货合约”都等价于直接以即期价格交易标的）。
  由于E^P = E^R$E^P = E^R$，因此：