Chapter2 连续时间模型

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title: "《衍生证券教程》第二章连续时间模型笔记"
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author: "Hao"
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tagline: "衍生品"
tags: [finance math , derivative pricing]

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布朗运动的模拟

use rand::Rng;
use rand_distr::StandardNormal;
use std::io;

fn main() -> io::Result<()> {
    println!("Enter the length of time(T):");
    let mut t_input = String::new();
    io::stdin().read_line(&mut t_input)?;
    let t: f64 = t_input.trim().parse().expect("please enter a valid number");

    println!("Enter the time perod(N)");
    let mut n_input= String::new();
    io::stdin().read_line(&mut n_input)?;
    let n: usize = n_input
        .trim()
        .parse()
        .expect("please enter a valid integer");

    let dt = t / n as f64;
    let sqrdt = dt.sqrt();

    let mut rng = rand::rng();
    let mut brownian_motion = 0.0;
    for i in 1..=n {
        let time = i as f64 * dt;

        let random_increment:f64 = rng.sample(StandardNormal);
        brownian_motion += random_increment * sqrdt;

        println!("{:<10.3} {:<10.6}", time, brownian_motion);
    }

    Ok(())
}

use rand::Rng;
use rand_distr::StandardNormal;
use std::io;

fn main() -> io::Result<()> {
    println!("Enter the length of time(T):");
    let mut t_input = String::new();
    io::stdin().read_line(&mut t_input)?;
    let t: f64 = t_input.trim().parse().expect("please enter a valid number");

    println!("Enter the time perod(N)");
    let mut n_input= String::new();
    io::stdin().read_line(&mut n_input)?;
    let n: usize = n_input
        .trim()
        .parse()
        .expect("please enter a valid integer");

    let dt = t / n as f64;
    let sqrdt = dt.sqrt();

    let mut rng = rand::rng();
    let mut brownian_motion = 0.0;
    for i in 1..=n {
        let time = i as f64 * dt;

        let random_increment:f64 = rng.sample(StandardNormal);
        brownian_motion += random_increment * sqrdt;

        println!("{:<10.3} {:<10.6}", time, brownian_motion);
    }

    Ok(())
}

二阶变差

为什么对布朗运动这样一个具有奇怪数学性质的过程感兴趣？

原因在于资产定价从根本上要涉及到鞅（一个随时间变化的随机变量，其改变量的数学期望总是等于0），这一点已经反映在基本定价公式：

Y(t)=S(t)E_t^S[\frac{Y(T)}{S(T)}]

Y(t)=S(t)E_t^S[\frac{Y(T)}{S(T)}]

此外，连续过程（路径是时间的连续函数）比包含瞬间跳跃的过程在数学上更容易处理。更为重要的是，连续过程给出的数学模型比包含跳的过程更容易实现对冲。

因此，我们需要研究连续鞅过程，而任何不等于常数的鞅过程的总变差（该变量的绝对值的和）都是无穷的，这是鞅过程的一个重要结论。所以，在对连续鞅的研究中，不能采用我们熟悉的那些函数。

在连续鞅过程中，为什么又要将研究集中在布朗运动上呢？

任何一个连续鞅过程实际上只是布朗运动的一种变换。这个结论可以从Levy定理推出：

一个连续鞅过程是布朗运动的充分必要条件是，在时间区间[0,T]上的二阶变差等于T。

因此，布朗运动是[0,T]上二阶变差等于T的连续鞅过程。这实际上是一种标准化，不同的连续鞅过程会有不同的二阶变差，但经过改变时间尺度总可以把鞅过程转换为布朗运动。此外，很多连续鞅过程都可以看做是由关于布朗运动的“随机积分”构造出来的。

ito过程

dX(t)=\mu(t)dt+\sigma(t)dB(t) \tag{2.1}

dX(t)=\mu(t)dt+\sigma(t)dB(t) \tag{2.1}

形如上式的Ito过程只有在\mu=0 $\mu=0$ 时才是鞅过程。

因为过程X变化量的期望值等于\mu(t)dt $\mu(t)dt$ ，而一个过程只有在改变量的期望等于0时才能成为鞅过程。这个结论是推导资产定价公式的基础。

对于一个Ito过程：

\mu=0 \quad + \quad \mathbb{E}[\int^T_0 \sigma^2(t)dt]<\infty =\text{连续鞅过程} \tag{2.2}

\mu=0 \quad + \quad \mathbb{E}[\int^T_0 \sigma^2(t)dt]<\infty =\text{连续鞅过程} \tag{2.2}

在给定0时信息条件下，时间T处的方差为

var[X(T)]=\mathbb{E}[\int^T_0 \sigma^2(t)dt]<\infty

var[X(T)]=\mathbb{E}[\int^T_0 \sigma^2(t)dt]<\infty

不管\mu $\mu$ 是否等于0，Ito过程X的二阶变差都以概率1等于

\lim_{N \rightarrow \infty}\sum^N_{i=0}[\Delta X(t_i)]^2=\int^T_0\sigma^2(t)dt \tag{2.3}

\lim_{N \rightarrow \infty}\sum^N_{i=0}[\Delta X(t_i)]^2=\int^T_0\sigma^2(t)dt \tag{2.3}

这一结论不依赖条件(2.2)。

计算二阶变差的简易法则（不严谨）：

(dt)^2=0 \tag{2.4a}

(dt)^2=0 \tag{2.4a}

(dt)(dB)=0 \tag{2.4b}

(dt)(dB)=0 \tag{2.4b}

(dB)^2=dt \tag{2.4c}

(dB)^2=dt \tag{2.4c}

二次变差更严格的数学标记：

<X,X>(T)=\int^T_0 d<X,X>(t)=\int^T_0\sigma^2(t)dt \tag{2.5}

<X,X>(T)=\int^T_0 d<X,X>(t)=\int^T_0\sigma^2(t)dt \tag{2.5}

伊藤公式

令Y=g(B) $Y=g(B)$ ，则对Y进行二阶泰勒展开：

\Delta Y \approx g'(B(t))\Delta B + \frac{1}{2}g''(B(t))[\Delta B]^2

\Delta Y \approx g'(B(t))\Delta B + \frac{1}{2}g''(B(t))[\Delta B]^2

得到:

\begin{align}
Y(T)&=Y(0)+\sum^N_{i=1}\Delta Y(t_i)\\
&\approx Y(0)+\sum^N_{i=1}g'(B(t_{i-1}))\Delta B(t_{i})+\frac{1}{2}\sum^N_{i=1}g''(B(t_{i-1}))[\Delta B(t_i)]^2
\end{align} \tag{2.8}

\begin{align} Y(T)&=Y(0)+\sum^N_{i=1}\Delta Y(t_i)\\ &\approx Y(0)+\sum^N_{i=1}g'(B(t_{i-1}))\Delta B(t_{i})+\frac{1}{2}\sum^N_{i=1}g''(B(t_{i-1}))[\Delta B(t_i)]^2 \end{align} \tag{2.8}

取极限，可到伊藤公式：

Y(T)=Y(0)+\int^T_0g'(B(t))dB(t)+\frac{1}{2}\int^T_0g''(B(t))dt \tag{2.7}

Y(T)=Y(0)+\int^T_0g'(B(t))dB(t)+\frac{1}{2}\int^T_0g''(B(t))dt \tag{2.7}

比较：

普通函数像一辆平稳行驶的汽车，知道它的速度和方向（一阶导数）就足以预测未来的位置。

布朗运动像一辆剧烈且随机颠簸的汽车，要预测它的位置，你不仅要知道它的速度（一阶导数），还必须考虑它颠簸的剧烈程度（二阶导数，即曲率或波动率），因为这种颠簸本身会产生显著的位移。伊藤公式就是同时考虑了这两种效应的“预测公式”。

多维Ito过程

两个伊藤过程：

dX(t)=\mu_x(t)dt+\sigma_x(t)dB_x(t) \tag{2.9a}

dX(t)=\mu_x(t)dt+\sigma_x(t)dB_x(t) \tag{2.9a}

dY(t)=\mu_y(t)dt+\sigma_y(t)dB_y(t) \tag{2.9b}

dY(t)=\mu_y(t)dt+\sigma_y(t)dB_y(t) \tag{2.9b}

如果存在过程\rho $\rho$ （可能是随机过程），使得给定t时信息条件下两个正态随机变量的协方差可以表示为：

E_t[\int^u_t\rho(s)ds]

E_t[\int^u_t\rho(s)ds]

过程\rho $\rho$ 称为两个布朗运动的相关系数。

注：即两个布朗运动增量该区间的“平均关联程度”的量化。

给定区间[0,T]上一个逐渐细化的划分0=t_0<t_1<\cdots <t_N=T $0=t_0<t_1<\cdots <t_N=T$ ，则当N\rightarrow \infty $N\rightarrow \infty$ 时，以概率1有：

\sum^N_{i=1}\Delta B_x(t_i)\times \Delta B_y(t_i) \longrightarrow \int^T_0\rho(t)dt

\sum^N_{i=1}\Delta B_x(t_i)\times \Delta B_y(t_i) \longrightarrow \int^T_0\rho(t)dt

即可得到法则：

(dB_x)(dB_y)=\rho dt

(dB_x)(dB_y)=\rho dt

可进一步证明：

\begin{align*}
	\lim_{N\rightarrow \infty}\sum^N_{i=1}\Delta X(t_i)\times \Delta Y(t_i)&=\int^T_0(dX)(dY)\\
	&=\int^T_0(\mu_xdt+\sigma_xdB_x)(\mu_ydt+\sigma_ydB_y)\\
	&=\int^T_0\sigma_x(t)\sigma_y(t)\rho(t)dt
\end{align*}

\begin{align*} \lim_{N\rightarrow \infty}\sum^N_{i=1}\Delta X(t_i)\times \Delta Y(t_i)&=\int^T_0(dX)(dY)\\ &=\int^T_0(\mu_xdt+\sigma_xdB_x)(\mu_ydt+\sigma_ydB_y)\\ &=\int^T_0\sigma_x(t)\sigma_y(t)\rho(t)dt \end{align*}

Ito公式的最一般形式，是函数Z(t)=g(t,X(t),Y(t)) $Z(t)=g(t,X(t),Y(t))$ 的Ito公式：

Z(T)=Z(0)+\int^T_0\frac{\partial{g}}{\partial{t}}dt+\int^T_0\frac{\partial{g}}{\partial{x}}dX(t)+\int^T_0\frac{\partial{g}}{\partial{y}}dY(t)+\\
\frac{1}{2}\int^T_0\frac{\partial^2{g}}{\partial{x^2}}(dX(t))^2+\frac{1}{2}\int^T_0\frac{\partial^2{g}}{\partial{y^2}}(dY(t))^2 \\
+\int^T_0\frac{\partial^2{g}}{\partial{x}\partial{y}}(dX(t))(dY(t)) \tag{2.13}

Z(T)=Z(0)+\int^T_0\frac{\partial{g}}{\partial{t}}dt+\int^T_0\frac{\partial{g}}{\partial{x}}dX(t)+\int^T_0\frac{\partial{g}}{\partial{y}}dY(t)+\\ \frac{1}{2}\int^T_0\frac{\partial^2{g}}{\partial{x^2}}(dX(t))^2+\frac{1}{2}\int^T_0\frac{\partial^2{g}}{\partial{y^2}}(dY(t))^2 \\ +\int^T_0\frac{\partial^2{g}}{\partial{x}\partial{y}}(dX(t))(dY(t)) \tag{2.13}

微分形式：

dZ=\frac{\partial{g}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{g}}{\partial{x}}dX(t)+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}dY(t)+\\
\frac{1}{2}\frac{\partial^2{g}}{\partial{x^2}}(dX(t))^2+\frac{1}{2}\frac{\partial^2{g}}{\partial{y^2}}(dY(t))^2 \\
+\frac{\partial^2{g}}{\partial{x}\partial{y}}(dX(t))(dY(t)) \tag{2.14}

dZ=\frac{\partial{g}}{\partial{t}}dt+\frac{\partial{g}}{\partial{x}}dX(t)+\frac{\partial{g}}{\partial{y}}dY(t)+\\ \frac{1}{2}\frac{\partial^2{g}}{\partial{x^2}}(dX(t))^2+\frac{1}{2}\frac{\partial^2{g}}{\partial{y^2}}(dY(t))^2 \\ +\frac{\partial^2{g}}{\partial{x}\partial{y}}(dX(t))(dY(t)) \tag{2.14}

伊藤公式的几个法则

将式（2.14）中的函数分别取为g(x,y)=xy,g(x,y)=y/x,g(x)=e^x,g(x)=\log x $g(x,y)=xy,g(x,y)=y/x,g(x)=e^x,g(x)=\log x$

乘积法则

如果Z=XY $Z=XY$ ,则
```
dZ=XdY+YdX+(dX)(dY)
```
$dZ=XdY+YdX+(dX)(dY)$
等价于
```
\frac{dZ}{Z}=\frac{dX}{X}+\frac{dY}{Y}+(\frac{dX}{X})(\frac{dY}{Y}) \tag{2.15}
```
$\frac{dZ}{Z}=\frac{dX}{X}+\frac{dY}{Y}+(\frac{dX}{X})(\frac{dY}{Y}) \tag{2.15}$
比值法则

如果 Z=Y/X $Z=Y/X$ ，则
```
\frac{dZ}{Z}=\frac{dY}{Y}-\frac{dX}{X}-(\frac{dY}{Y})(\frac{dX}{X})+(\frac{dX}{X})^2 \tag{2.16}
```
$\frac{dZ}{Z}=\frac{dY}{Y}-\frac{dX}{X}-(\frac{dY}{Y})(\frac{dX}{X})+(\frac{dX}{X})^2 \tag{2.16}$
指数法则

如果Z=e^X $Z=e^X$ ，则
```
\frac{dZ}{Z}=dX+\frac{(dX)^2}{2} \tag{2.17}
```
$\frac{dZ}{Z}=dX+\frac{(dX)^2}{2} \tag{2.17}$
对数法则

如果 Z=\ln X $Z=\ln X$ ，则
```
dZ=\frac{dX}{X}-\frac{1}{2}(\frac{dX}{X})^2 \tag{2.18}
```
$dZ=\frac{dX}{X}-\frac{1}{2}(\frac{dX}{X})^2 \tag{2.18}$
复利/折现法则

设
```
Y(t)=\exp(\int^t_0 q(s)ds)
```
$Y(t)=\exp(\int^t_0 q(s)ds)$
其中q是一个过程（可以是随机过程）。对任何Ito过程，定义Z=XY $Z=XY$ 。

用普通微积分法则得出dY(t)=q(t)Y(t)dt $dY(t)=q(t)Y(t)dt$ ，让上面给出的乘法法则得出
```
\frac{dZ}{Z}=qdt+\frac{dX}{X} \tag{2.19}
```
$\frac{dZ}{Z}=qdt+\frac{dX}{X} \tag{2.19}$
解释：

虽然被积函数 q(s)可以是随机的，但**积分变量是普通的时间 ds，而不是布朗运动的微分dB(s) **

对每个“实现”或“路径”应用普通微积分：
- 我们可以这样理解：大自然首先“抽取”了一条特定的随机过程 q(t)的样本路径。对于这条特定的路径，q(s,ω)就变成了一个关于时间 s的普通函数（可能非常不规则，但它是确定的）。
- 对于这个确定的被积函数，我们对时间 s进行积分，∫_0^tq(s)ds $∫_0^tq(s)ds$ ，结果是一个关于时间 t的光滑函数（因为积分对时间有平滑作用）。
- 然后，我们对这个光滑的函数取指数，得到的 Y(t)关于时间 t也是一个光滑函数。
在 Y(t) $Y(t)$ 的定义中，完全没有出现 dB(t) $dB(t)$ 。所有的随机性都被“锁”在了被积函数 q(s)里，而积分算子将ds $ds$ 其“驯化”了。伊藤积分仅在与dB(t) $dB(t)$ 打交道时才需要。

红利再投资

结论：假定衍生证券的标的资产以“不变红利支付率”q支付红利，如果将得到的红利进行再投资购买标的资产，则标的资产数量会以q的指数增长。

证明：

考虑一个投资组合开始时由一份资产组成，持有该资产到T，其间的红利进行再投资。设X(t) $X(t)$ 表示该投资组合中股票的份数，t\leq T $t\leq T$ ，则在时间t得到的红利为qS(t)X(t)dt $qS(t)X(t)dt$ ，用红利可以购买的新股票数为qX(t)dt $qX(t)dt$ 。由此得出dX(t)=qX(t)dt $dX(t)=qX(t)dt$ ，或者dX(t)/dt=qX(t) $dX(t)/dt=qX(t)$ ，容易验证该微分方程的解为X(t)=e^{qt}X(0) $X(t)=e^{qt}X(0)$ ，其中X(0)=1 $X(0)=1$ 。由此得出X(t)=e^{qt} $X(t)=e^{qt}$ 。

因为所支付红利进行了再投资，因此V(t) $V(t)$ 是不支付红利的投资组合价值。即：持有并进行股息再投资的支付股息证券 S(t)，在价值上完全等价于持有一个人造的、不支付股息但价值为 V(t) = e^{qt}S(t) $V(t) = e^{qt}S(t)$ 的证券

在金融建模（尤其是期权定价）中，处理不支付股息的资产（如不派息的股票）的模型要简单得多。这个等价关系允许我们将复杂的支付股息资产的问题，转化为我们已熟知如何解决的、更简单的无股息资产问题。

这个等价关系的价值增长率：

\frac{dS}{S}=qdt+\frac{dS}{S} \tag{2.20}

\frac{dS}{S}=qdt+\frac{dS}{S} \tag{2.20}

即投资者的收益率等于红利支付率加上资本利得收益。

几何布朗运动

S(t)=S(0)\exp(\mu t-\sigma^2t/2+\sigma B(t)) \tag{2.21}

S(t)=S(0)\exp(\mu t-\sigma^2t/2+\sigma B(t)) \tag{2.21}

其中\mu $\mu$ 和\sigma $\sigma$ 为常数，B $B$ 为布朗运动。采用乘积法则和指数法则得出：

\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dB \tag{2.22}

\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dB \tag{2.22}

(2.21)是(2.22)的解。

把（2.22）解释为在dt瞬间，S的期望变化率为\mu dt $\mu dt$ ，变化率方差为\sigma^2 dt $\sigma^2 dt$ 。

将（2.21）取自然对数，得出另一种等价形式

\log S(t)=\log S(0)+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma B(t) \tag{2.23}

\log S(t)=\log S(0)+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma B(t) \tag{2.23}

微分形式为：

d\log S(t)=(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma dB(t) \tag{2.24}

d\log S(t)=(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma dB(t) \tag{2.24}

因此，（2.22）和（2.24）等价：

\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dB \quad  \Leftrightarrow \quad d\log S(t)=(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma dB(t)

\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dB \quad \Leftrightarrow \quad d\log S(t)=(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma dB(t)

又

\frac{S(t_i)}{S(t_{i-1})}=e^{r_i\Delta t} \quad \Longrightarrow \quad\Delta \log S=r_i\Delta t \quad \Longrightarrow \quad r_i=\mu-\frac{1}{2}\sigma^2+\frac{\sigma\Delta B}{\Delta t}

\frac{S(t_i)}{S(t_{i-1})}=e^{r_i\Delta t} \quad \Longrightarrow \quad\Delta \log S=r_i\Delta t \quad \Longrightarrow \quad r_i=\mu-\frac{1}{2}\sigma^2+\frac{\sigma\Delta B}{\Delta t}

这说明 r_i \sim \mathcal{N}(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2,\sigma^2/\Delta t) $r_i \sim \mathcal{N}(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2,\sigma^2/\Delta t)$

如果给出收益率的历史数据，采用标准的估计方法可以估计出参数\mu $\mu$ 和\sigma $\sigma$

模拟路径

use rand::Rng;
use rand_distr::StandardNormal;
use std::io;
fn main() ->io::Result<()>{
    println!("Enter the time range(T):");
    let mut T_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut T_input)?;
    let t:f64=T_input.trim().parse().expect("Please type a number!");

    println!("Enter the time period(N):");
    let mut N_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut N_input)?;
    let n:usize=N_input.trim().parse().expect("Please type a integar!");

    println!("Enter the S0:");
    let mut S_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut S_input)?;
    let s:f64=S_input.trim().parse().expect("Please type a number!");

    println!("Enter the mu:");
    let mut mu_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut mu_input)?;
    let mu:f64=mu_input.trim().parse().expect("Please type a number!");

    println!("Enter the sigma:");
    let mut sigma_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut sigma_input)?;
    let sigma:f64=sigma_input.trim().parse().expect("Please type a number!");

    let time=t / n as f64;
    let sqrtime=time.sqrt();
    let mut logS=s.ln();
    println!("{:<10.3} {:<10.6}", 0 as f64, s);
    let mut rng=rand::rng();
    for i in 1..=n{
        let cur=i as f64 *time;

        let r=rng.sample::<f64,StandardNormal>(StandardNormal);
        logS+=(mu-0.5*sigma*sigma)*time+sigma*sqrtime*r;
        println!("{:<10.3} {:<10.6}", cur, logS.exp());
    }

    Ok(())
}

use rand::Rng;
use rand_distr::StandardNormal;
use std::io;
fn main() ->io::Result<()>{
    println!("Enter the time range(T):");
    let mut T_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut T_input)?;
    let t:f64=T_input.trim().parse().expect("Please type a number!");

    println!("Enter the time period(N):");
    let mut N_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut N_input)?;
    let n:usize=N_input.trim().parse().expect("Please type a integar!");

    println!("Enter the S0:");
    let mut S_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut S_input)?;
    let s:f64=S_input.trim().parse().expect("Please type a number!");

    println!("Enter the mu:");
    let mut mu_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut mu_input)?;
    let mu:f64=mu_input.trim().parse().expect("Please type a number!");

    println!("Enter the sigma:");
    let mut sigma_input=String::new();
    io::stdin().read_line(&mut sigma_input)?;
    let sigma:f64=sigma_input.trim().parse().expect("Please type a number!");

    let time=t / n as f64;
    let sqrtime=time.sqrt();
    let mut logS=s.ln();
    println!("{:<10.3} {:<10.6}", 0 as f64, s);
    let mut rng=rand::rng();
    for i in 1..=n{
        let cur=i as f64 *time;

        let r=rng.sample::<f64,StandardNormal>(StandardNormal);
        logS+=(mu-0.5*sigma*sigma)*time+sigma*sqrtime*r;
        println!("{:<10.3} {:<10.6}", cur, logS.exp());
    }

    Ok(())
}

计价物和概率

当概率测度改变时，不能保证布朗运动B仍然是布朗运动。布朗运动变化量的数学期望总是等于0，但当概率改变后，B的变化量的数学期望很可能不再等于0（同样，在概率测度改变后，一个鞅过程很可能不再是一个鞅过程）。

但是，在新的测度下，布朗运动B仍然是一个Ito过程。实际上，在一个概率测度下的Ito过程，在新的概率测度下仍然是Ito过程，并且Ito过程的扩散系数不受概率测度改变的影响。概率测度的改变只影响Ito过程的漂移项。

改变概率测度会影响不同路径的概率（因此会影响B变化量的期望），但不会改变各个路径上下波动的方式。因此，在新的测度下，B仍然很像一个布朗运动，只是漂移项不再是0。以及Ito过程之间的瞬间协方差--(dX)(dY) $(dX)(dY)$ 项也不受概率测度变化的影响。

资产定价中需要知道不同计价物下标的资产的分布。

引入三种资产

资产价格为S，且资产的红利支付率为常数q

令V(t)=e^{qt}S(t) $V(t)=e^{qt}S(t)$ 为投资组合的价格，投资组合的所有红利都进行再投资，则V(t)满足：
```
V(t)=qdt+\frac{dS}{S}\\
\frac{dS}{S}=\mu_sdt+\sigma_sdB_s
```
$V(t)=qdt+\frac{dS}{S}\\ \frac{dS}{S}=\mu_sdt+\sigma_sdB_s$
不发放红利的资产Y
```
\frac{dY}{Y}=\mu_ydt+\sigma_ydB_y
```
$\frac{dY}{Y}=\mu_ydt+\sigma_ydB_y$
无风险资产R
```
R(t)=\exp(\int^t_sr(s)ds)
```
$R(t)=\exp(\int^t_sr(s)ds)$
其中B_s,B_y $B_s,B_y$ 是实际概率测度下的布朗运动，相关系数为\rho,\quad\mu_s、\mu_y、\sigma_s、\sigma_y、\rho $\rho,\quad\mu_s、\mu_y、\sigma_s、\sigma_y、\rho$ 是一般的随机过程。

对于资产价格S在三种不同概率测度下的动态变化，在每种情形中，我们都遵照如下步骤进行：
1. 资产价格与计价物资产价格的比值必须为鞅过程；
2. 用Ito公式计算比值的漂移项；
3. 用鞅过程的漂移项为0这一性质计算dS/S的漂移项

风险中性概率

以无风险资产作为计价物，即为风险中性概率，此时

Z(t)=\frac{V(t)}{R(t)}=\exp(-\int^t_0r(s)ds)V(t)

Z(t)=\frac{V(t)}{R(t)}=\exp(-\int^t_0r(s)ds)V(t)

为鞅过程。利用复利/折现法则得出：

\frac{dZ}{Z}=-rdt+\frac{dV}{V}=(q-r)dt+\frac{dS}{S}=(q-r+\mu^*_s)dt+\sigma_sdB^*_s

\frac{dZ}{Z}=-rdt+\frac{dV}{V}=(q-r)dt+\frac{dS}{S}=(q-r+\mu^*_s)dt+\sigma_sdB^*_s

要使Z成为鞅过程，dZ/Z的漂移项(dt项)必须为0，因此\mu^*_s=r-q $\mu^*_s=r-q$ ，即：

\frac{dS}{S}=(r-q)dt+\sigma_sdB^*_s \tag{2.27}

\frac{dS}{S}=(r-q)dt+\sigma_sdB^*_s \tag{2.27}

其中B^*_s $B^*_s$ 是风险中性概率测度下的布朗运动

以标的资产为计价物

以V为计价物时，由

Z(t)=\frac{R(t)}{V(t)}=\frac{\exp(\int^t_0r(s)ds)}{V(t)}

Z(t)=\frac{R(t)}{V(t)}=\frac{\exp(\int^t_0r(s)ds)}{V(t)}

定义的过程Z(t) $Z(t)$ 是鞅过程。利用比值法则得出

\frac{dZ}{Z}=rdt-\frac{dV}{V}+(\frac{dV}{V})^2=(r-q+\sigma^2_s)dt-\frac{dS}{S}

\frac{dZ}{Z}=rdt-\frac{dV}{V}+(\frac{dV}{V})^2=(r-q+\sigma^2_s)dt-\frac{dS}{S}

从dZ/Z $dZ/Z$ 的漂移项必须为0得出，dS/S $dS/S$ 的漂移项为(r-q+\sigma^2_s)dt $(r-q+\sigma^2_s)dt$ ，由此得出

\frac{dS}{S}=(r-q+\sigma^2_s)dt+\sigma_sdB^*_s \tag{2.28}

\frac{dS}{S}=(r-q+\sigma^2_s)dt+\sigma_sdB^*_s \tag{2.28}

其中B^*_s $B^*_s$ 表示以V(t)=e^{qt}S(t) $V(t)=e^{qt}S(t)$ 为计价物时的布朗运动。

注：这种情况是以与自己等价的无红利支付的投资组合作为计价物的情况下计算得出的标的资产的漂移项

以另一种风险资产为计价物

当以Y为计价物时，以

Z(t)=\frac{V(t)}{Y(t)}

Z(t)=\frac{V(t)}{Y(t)}

定义的Z(t) $Z(t)$ 为鞅过程。再次采用比值法则得出

\begin{align*}
	\frac{dZ}{Z}&=\frac{dV}{V}-\frac{dY}{Y}-(\frac{dV}{V})(\frac{dY}{Y})+(\frac{dY}{Y})^2\\
	&=\frac{dV}{V}-\frac{dY}{Y}-\rho\sigma_s\sigma_ydt+\sigma^2_ydt\\
	&=\frac{dS}{S}-\frac{dY}{Y}+(q-\rho\sigma_s\sigma_y+\sigma^2_y)dt
\end{align*}

\begin{align*} \frac{dZ}{Z}&=\frac{dV}{V}-\frac{dY}{Y}-(\frac{dV}{V})(\frac{dY}{Y})+(\frac{dY}{Y})^2\\ &=\frac{dV}{V}-\frac{dY}{Y}-\rho\sigma_s\sigma_ydt+\sigma^2_ydt\\ &=\frac{dS}{S}-\frac{dY}{Y}+(q-\rho\sigma_s\sigma_y+\sigma^2_y)dt \end{align*}

参照第二张情况，计算在以与自身等价的无红利支付的资产作为计价物时，对应的概率测度下自身的漂移项，因为Y资产本身就不支付红利，故自己与自己等价，即（2.28）中q=0的情形，所以dY/Y $dY/Y$ 的漂移项为(r+\sigma_y^2)dt $(r+\sigma_y^2)dt$ .

从dZ/Z $dZ/Z$ 的漂移项必须是0得出如下结论：

\frac{dS}{S}=(r-q+\rho\sigma_s\sigma_y)dt+\sigma_sdB^*_s \tag{2.29}

\frac{dS}{S}=(r-q+\rho\sigma_s\sigma_y)dt+\sigma_sdB^*_s \tag{2.29}

其中B_s^* $B_s^*$ 表示以不支付红利的资产Y为计价物时对应的概率测度下的布朗运动，\rho $\rho$ 为S和Y之间的相关系数。

（2.27）和（2.28）是（2.29）的特例：1.Y是无风险资产时，\sigma_y=0 $\sigma_y=0$ ；2.如果Y是V，则\sigma_y=\sigma_s,\rho=1 $\sigma_y=\sigma_s,\rho=1$

几何布朗运动的尾部概率

对每一种计价物，都存在\alpha,\sigma $\alpha,\sigma$ 以及对应的概率测度下的布朗运动B $B$ ，使得

d\log S=\alpha dt+\sigma dB \tag{2.32}

d\log S=\alpha dt+\sigma dB \tag{2.32}

根据上一节的讨论，具体情况是，\sigma=\sigma_s,B=B^*_s $\sigma=\sigma_s,B=B^*_s$ ，并且

对风险中性概率测度，\alpha=r-q-\sigma^2_s/2 $\alpha=r-q-\sigma^2_s/2$ ;
以e^{qt}S(t) $e^{qt}S(t)$ 为计价物，\alpha=r-q+\sigma^2_s/2 $\alpha=r-q+\sigma^2_s/2$
以另一个风险资产价格Y为计价物，\alpha=r-q+\rho \sigma_s \sigma_y-\sigma^2_s/2 $\alpha=r-q+\rho \sigma_s \sigma_y-\sigma^2_s/2$

期权定价中的关键问题，是对给定的常数K（期权执行价格）计算prob(S(T)>K) $prob(S(T)>K)$ 和prob(S(T)<K) $prob(S(T)<K)$ ，这里prob表示特定计价物下时间0处（即给期权定价的时间）的概率。

由(2.32)得出：

\log S(T)=\log S(0)+\alpha T +\sigma B(T)

\log S(T)=\log S(0)+\alpha T +\sigma B(T)

由此得出：

\begin{align*}
	S(T)>K &\Leftrightarrow \log S(T)>\log K\\
	&\Leftrightarrow \sigma B(T)>\log K - \log S(0) -\alpha T\\
	&\Leftrightarrow \frac{B(T)}{\sqrt{T}}>\frac{\log K - \log S(0) -\alpha T}{\sigma \sqrt{T}}\\
	&\Leftrightarrow -\frac{B(T)}{\sqrt{T}}<\frac{  \log S(0)-\log K+\alpha T}{\sigma \sqrt{T}}\\
	&\Leftrightarrow -\frac{B(T)}{\sqrt{T}}<\frac{  \log (S(0)/K)+\alpha T}{\sigma \sqrt{T}}
\end{align*} \tag{2.33}

\begin{align*} S(T)>K &\Leftrightarrow \log S(T)>\log K\\ &\Leftrightarrow \sigma B(T)>\log K - \log S(0) -\alpha T\\ &\Leftrightarrow \frac{B(T)}{\sqrt{T}}>\frac{\log K - \log S(0) -\alpha T}{\sigma \sqrt{T}}\\ &\Leftrightarrow -\frac{B(T)}{\sqrt{T}}<\frac{ \log S(0)-\log K+\alpha T}{\sigma \sqrt{T}}\\ &\Leftrightarrow -\frac{B(T)}{\sqrt{T}}<\frac{ \log (S(0)/K)+\alpha T}{\sigma \sqrt{T}} \end{align*} \tag{2.33}

式（2.33）左边服从标准正态分布，由此得出：

设d\log S=\alpha dt+\sigma dB $d\log S=\alpha dt+\sigma dB$ , B $B$ 为布朗运动。则对任何数K，

prob(S(T)>K)=N(d) \tag{2.34}

prob(S(T)>K)=N(d) \tag{2.34}

prob(S(T)<K)=N(-d) \tag{2.36}

prob(S(T)<K)=N(-d) \tag{2.36}

其中

d=\frac{  \log (S(0)/K)+\alpha T}{\sigma \sqrt{T}} \tag{2.35}

d=\frac{ \log (S(0)/K)+\alpha T}{\sigma \sqrt{T}} \tag{2.35}

波动率

我们把方程

\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dB

\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dB

中的\sigma $\sigma$ 称为“S的波动率”，其中B是布朗运动。

设

\frac{dX}{X}=\mu_x dt + \sigma_x dB_x,\frac{dY}{Y}=\mu_y dt + \sigma_y dB_y

\frac{dX}{X}=\mu_x dt + \sigma_x dB_x,\frac{dY}{Y}=\mu_y dt + \sigma_y dB_y

其中B_x,B_y $B_x,B_y$ 为两个布朗运动，它们之间的相关系数为\rho $\rho$

随机过程乘积的波动率

如果Z=XY $Z=XY$ ，由（2.15）得出
```
\frac{dZ}{Z}=(\mu_x+\mu_y+\rho \sigma_x \sigma_y)dt+\sigma_x dB_x +\sigma_y dB_y \tag{2.37}
```
$\frac{dZ}{Z}=(\mu_x+\mu_y+\rho \sigma_x \sigma_y)dt+\sigma_x dB_x +\sigma_y dB_y \tag{2.37}$
dZ/Z波动的来源为\sigma_x dB_x +\sigma_y dB_y $\sigma_x dB_x +\sigma_y dB_y$ ，故其瞬间方差为：
```
\begin{align*}
	(\frac{dZ}{Z})^2&=(\sigma_x dB_x +\sigma_y dB_y)^2\\
	&=(\sigma_x^2+\sigma_y^2+2\rho\sigma_x \sigma_y)dt
\end{align*}
```
$\begin{align*} (\frac{dZ}{Z})^2&=(\sigma_x dB_x +\sigma_y dB_y)^2\\ &=(\sigma_x^2+\sigma_y^2+2\rho\sigma_x \sigma_y)dt \end{align*}$
波动率等于瞬间方差（去掉dt）的平方根，由此得出

XY的波动率为：\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2+2\rho\sigma_x \sigma_y} $\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2+2\rho\sigma_x \sigma_y}$
随机过程比值的波动率

如果Z=Y/X $Z=Y/X$ ，由（2.16）得出
```
\frac{dZ}{Z}=(\mu_y-\mu_x-\rho \sigma_x \sigma_y + \sigma_x^2)dt+\sigma_y dB_y-\sigma_xdB_x \tag{2.39}
```
$\frac{dZ}{Z}=(\mu_y-\mu_x-\rho \sigma_x \sigma_y + \sigma_x^2)dt+\sigma_y dB_y-\sigma_xdB_x \tag{2.39}$
由此得出dZ/Z的瞬间方差为
```
\begin{align*}
	(\frac{dZ}{Z})^2&=(\sigma_x dB_x -\sigma_y dB_y)^2\\
	&=(\sigma_x^2+\sigma_y^2-2\rho\sigma_x \sigma_y)dt
\end{align*}
```
$\begin{align*} (\frac{dZ}{Z})^2&=(\sigma_x dB_x -\sigma_y dB_y)^2\\ &=(\sigma_x^2+\sigma_y^2-2\rho\sigma_x \sigma_y)dt \end{align*}$
即Y/X的波动率为\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-2\rho \sigma_x \sigma_y} $\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-2\rho \sigma_x \sigma_y}$