要理解 “贴现后的期权价值是贴现收益在风险中性测度下的条件期望”，需结合 无套利复制 、鞅的性质和风险中性测度的核心逻辑，分步骤推导：

步骤 1：构造 “复制期权” 的自融资组合

为给期权定价，我们构造一个自融资投资组合 $({\varphi }_t,{\psi }_t)$$(\phi_t, \psi_t)$：

• ${\varphi }_t$$\phi_t$：时刻 ( t ) 持有 “连续可交易资产 $S_t$$S_t$” 的数量；
• ${\psi }_t$$\psi_t$：时刻 ( t ) 持有 “无风险现金债券 $B_t=e^{rt}$$B_t = e^{rt}$” 的数量。

组合的即时价值为：

若组合能 复制期权收益 （到期日T时，$V_T=X$$V_T = X$，其中$X$$X$ 是期权到期收益），则无套利要求 “期权价值等于复制组合的价值”。

步骤 2：贴现组合价值，消除无风险趋势

对组合价值 除以无风险现金债券 $B_t$$B_t$（即 “贴现”），得到 贴现价值 ：

其中 $Z_t=\frac{S_t}{B_t}$$Z_t = \frac{S_t}{B_t}$ 是 $S_t$$S_t$ 的 贴现价格 （反映 $S_t$$S_t$ 相对无风险资产的 “超额价值”）。

自融资组合的核心条件是：组合价值变化仅来自资产价格波动，无外部资金注入 / 抽出。用 “贴现价值” 表述，自融资条件为：

步骤 3：风险中性测度下，贴现资产价格是 “鞅”

在无套利市场中，通过Girsanov 定理可构造 “风险中性测度 $\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$”，使得：

贴现后的资产价格 $Z_t$$Z_t$ ** 是 ** $\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$ ** 下的鞅** 。

“鞅” 的核心性质是：对任意 $s\le t$$s \leq t$，有

（“未来贴现价值的条件期望等于当前贴现价值”）。

步骤 4：自融资组合的贴现价值也是鞅

由自融资条件 $d{E}_t={\varphi }_{t}d{Z}_t$$dE_t = \phi_t dZ_t$，$E_t$$E_t$ 可看作 “对鞅 $Z_t$$Z_t$ 的随机积分”（${\varphi }_t$$\phi_t$ 是 “可预测过程”，即基于历史信息的交易策略）。

根据 鞅的随机积分性质 ： 对鞅的随机积分仍为鞅 。因此，$E_t$$E_t$ 也是 $\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$ 下的鞅。

步骤 5：鞅的条件期望与期权定价

鞅的另一核心性质是：对鞅 $E_t$$E_t$，有

而期权到期时，组合价值需复制期权收益：$V_T=X$$V_T = X$，因此到期日的贴现价值为：

将 $E_T=\frac{X}{B_T}$$E_T = \frac{X}{B_T}$ 代入鞅的条件期望公式，得：

注意到 $E_t=\frac{V_t}{B_t}$$E_t = \frac{V_t}{B_t}$，而 $V_t$$V_t$ 正是 期权在时刻 $t$$t$ ** 的价值** 。因此：

期权在时刻 $t$$t$ ** 的贴现价值，等于 “贴现后的期权收益 ** $\frac{X}{B_T}$$\frac{X}{B_T}$ ** 在风险中性测度 ** $\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$ ** 下关于 ** ${\mathcal{F}}_t$$\mathcal{F}_t$ ** 的条件期望”** 。

总结逻辑链

无套利复制 → 自融资组合 → 贴现消除无风险趋势 → 风险中性测度下贴现资产是鞅 → 自融资组合的贴现价值是鞅 → 鞅的条件期望性质 → 贴现期权价值 = 贴现收益的风险中性条件期望。